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逆・裏・対偶と証明

1つの命題 \(p \Rightarrow q\) からは、逆・裏・対偶の3つの命題が作れます。このうち対偶はもとの命題といつでも真偽が一致し、証明の強力な道具になります。

1. 3つの作り方

名前 形 作り方
もとの命題 \(p \Rightarrow q\) —
逆 \(q \Rightarrow p\) 入れかえる
裏 \(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\) 両方を否定する
対偶 \(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) 入れかえて否定する
もとの命題 p ⇒ q 逆 q ⇒ p 裏 p でない ⇒ q でない 対偶 q でない ⇒ p でない 真偽が一致
対角線で結ばれた2つ（もとの命題と対偶、逆と裏）は、いつでも真偽が同じ。

真偽の関係

  • もとの命題と対偶は、真偽がつねに一致する
  • 逆と裏も、たがいに対偶の関係なので真偽が一致する
  • もとの命題が真でも、逆や裏が真とは限らない

下のラボで条件を入れかえると、4つの真偽と反例が表になって出ます。もとの命題と対偶の行（色つき）がいつも同じ真偽になることを確かめましょう。

例題1

命題「\(x=2 \Rightarrow x^2=4\)」（\(x\) は実数）の逆・裏・対偶を書き、それぞれの真偽を答えなさい。

解説
  • 逆：\(x^2=4 \Rightarrow x=2\) … 偽（反例 \(x=-2\)）
  • 裏：\(x \neq 2 \Rightarrow x^2 \neq 4\) … 偽（反例 \(x=-2\)）
  • 対偶：\(x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2\) … 真

もとの命題が真なので、対偶も真。逆と裏はどちらも偽で、真偽が一致しています。

2. なぜ対偶は一致するのか

集合で考えます。\(p \Rightarrow q\) が真とは \(P \subset Q\) のことでした。

U Q P Q の外側 ＝ P の外側
P ⊂ Q ならば、Q の外にあるものは必ず P の外にある。これが「q でない ⇒ p でない」。

\(Q\) の外側にいる要素は、\(P\) の中にいることができません（もし \(P\) の中なら \(Q\) の中にも入るはずだから）。これはまさに \(\overline{Q} \subset \overline{P}\)、つまり \(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) です。

3. 対偶を利用した証明

「直接示しにくいときは対偶を示す」— これが対偶の一番の使い道です。

例題2

\(n\) を整数とする。「\(n^2\) が偶数ならば \(n\) は偶数である」を証明しなさい。

解説

直接示そうとすると、\(n^2\) が偶数という情報から \(n\) を取り出すのが大変です。そこで対偶を示します。

対偶：「\(n\) が奇数ならば \(n^2\) は奇数である」

\(n\) が奇数のとき、整数 \(k\) を用いて \(n=2k+1\) と書けるので

\[n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\]

\(2k^2+2k\) は整数だから \(n^2\) は奇数。よって対偶は真であり、もとの命題も真である。 \(\blacksquare\)

対偶を使う合図

「〜でない」「〜とは限らない」といった否定が結論にあるときや、 仮定が扱いにくく結論のほうが式にしやすいときは、対偶を疑いましょう。

例題3

\(m,\,n\) を整数とする。「\(mn\) が奇数ならば、\(m\) と \(n\) はともに奇数である」を証明しなさい。

解説

対偶は「\(m\) または \(n\) が偶数ならば、\(mn\) は偶数である」。（「ともに奇数」の否定は、ド・モルガンより「少なくとも一方が偶数」）

\(m\) が偶数のとき \(m=2k\)（\(k\) は整数）と書けるので \(mn=2kn\) となり偶数。 \(n\) が偶数のときも同様に \(mn\) は偶数。

よって対偶は真だから、もとの命題も真である。 \(\blacksquare\)

4. 背理法

背理法

結論を否定して矛盾を導くことで、もとの命題が正しいと示す方法。

例題4

\(\sqrt{2}\) が無理数であることを証明しなさい。

解説

\(\sqrt2\) が有理数であると仮定する。すると、互いに素な自然数 \(m,\,n\) を用いて

\[\sqrt2=\frac{m}{n} \qquad\Longrightarrow\qquad m^2=2n^2\]

と書ける。右辺は偶数なので \(m^2\) は偶数、例題2より \(m\) も偶数。そこで \(m=2k\) とおくと

\[4k^2=2n^2 \qquad\Longrightarrow\qquad n^2=2k^2\]

同じ理由で \(n\) も偶数。すると \(m,\,n\) がともに \(2\) で割り切れることになり、 「互いに素」という仮定に矛盾する。

よって \(\sqrt2\) は有理数ではない、すなわち無理数である。 \(\blacksquare\)

対偶証明と背理法は別もの

  • 対偶証明：\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) を示す（矛盾は使わない）
  • 背理法：「\(p\) かつ \(\overline{q}\)」を仮定して矛盾を導く

どちらも「否定から出発する」点は同じですが、書き出しが違います。答案では最初に 「〜と仮定すると」（背理法）、「対偶を示す」（対偶証明）とはっきり宣言しましょう。

例題5

\(a\) を有理数、\(b\) を無理数とするとき、\(a+b\) が無理数であることを証明しなさい。

解説

\(a+b\) が有理数であると仮定し、\(a+b=r\)（\(r\) は有理数）とおく。すると

\[b=r-a\]

有理数どうしの差は有理数だから、\(b\) は有理数となる。これは \(b\) が無理数であることに矛盾する。

よって \(a+b\) は無理数である。 \(\blacksquare\)

練習問題

  1. 命題「\(x>3 \Rightarrow x>1\)」（\(x\) は実数）の逆・裏・対偶を書き、真偽を答えなさい。
  2. 命題「\(n\) が \(6\) の倍数ならば \(n\) は \(3\) の倍数である」の対偶を書きなさい。
  3. もとの命題が偽のとき、その対偶の真偽は何ですか。
  4. 「\(x^2+y^2=0 \Rightarrow x=0\) かつ \(y=0\)」（\(x,\,y\) は実数）の対偶を書きなさい。
  5. \(n\) を整数とする。「\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば \(n\) は \(3\) の倍数である」を対偶を用いて証明しなさい。
  6. \(\sqrt3\) が無理数であることを用いて、\(2+\sqrt3\) が無理数であることを証明しなさい。
  7. 命題「\(p \Rightarrow q\)」が真で、その逆も真であるとき、\(p\) と \(q\) の関係を何といいますか。
答えと解説

1. もとの命題は真。

  • 逆：\(x>1 \Rightarrow x>3\) … 偽（反例 \(x=2\)）
  • 裏：\(x \leqq 3 \Rightarrow x \leqq 1\) … 偽（反例 \(x=2\)）
  • 対偶：\(x \leqq 1 \Rightarrow x \leqq 3\) … 真

2. 「\(n\) が \(3\) の倍数でないならば、\(n\) は \(6\) の倍数でない」

3. 偽。真偽はつねに一致するので、もとが偽なら対偶も偽です。

4. 「\(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) ならば \(x^2+y^2 \neq 0\)」（「かつ」の否定は「または」）

5. 対偶「\(n\) が \(3\) の倍数でなければ \(n^2\) も \(3\) の倍数でない」を示す。 \(n=3k\pm1\)（\(k\) は整数）と書けるので

\[n^2=9k^2\pm6k+1=3(3k^2\pm2k)+1\]

となり、\(3\) で割ると \(1\) 余る。よって \(n^2\) は \(3\) の倍数でない。対偶が真だから、もとの命題も真。

6. \(2+\sqrt3\) が有理数 \(r\) であると仮定すると \(\sqrt3=r-2\)。 有理数どうしの差は有理数なので \(\sqrt3\) が有理数となり、矛盾。よって \(2+\sqrt3\) は無理数。

7. 必要十分条件（\(p \Leftrightarrow q\)、同値）。

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