コンテンツにスキップ

必要条件と十分条件

言葉が似ていて混乱しやすい単元ですが、ベン図の大小として見れば迷いません。「小さいほうが十分、大きいほうが必要」です。

1. 定義

必要条件・十分条件

命題 \(p \Rightarrow q\) が真であるとき、

  • \(p\) は \(q\) であるための十分条件
  • \(q\) は \(p\) であるための必要条件

\(p \Rightarrow q\) と \(q \Rightarrow p\) の両方が真のとき、\(p\) は \(q\) であるための必要十分条件といい、\(p \Leftrightarrow q\) と書きます。

覚え方：矢印の先が「必要」、根元が「十分」

\[p \;\underbrace{\Longrightarrow}_{\text{真}}\; q \qquad \text{十分} \longrightarrow \text{必要}\]

「ジュウブン → ヒツヨウ」の向きに矢印が進む、と覚えます。

2. 集合で見ると一目でわかる

\(p \Rightarrow q\) が真 ⟺ \(P \subset Q\)。つまり小さい集合のほうが十分条件です。

関係 図 呼び方
\(P \subsetneq Q\) \(P\) が \(Q\) の内側 \(p\) は \(q\) の十分条件（必要ではない）
\(Q \subsetneq P\) \(Q\) が \(P\) の内側 \(p\) は \(q\) の必要条件（十分ではない）
\(P = Q\) ぴったり重なる \(p\) は \(q\) の必要十分条件
それ以外 はみ出し合う どちらでもない

「十分＝強い条件」と覚えるとよい

\(4\) の倍数は偶数です。\(4\) の倍数であることは、偶数であるために十分すぎる強い条件。 逆に偶数であることは、\(4\) の倍数であるために最低限必要な条件（ただしそれだけでは足りない）。

下のラボで \(p,\,q\) を選ぶと、包含関係・反例・呼び名がそのまま表示されます。組を入れかえて、呼び名が逆になることを確かめてください。

3. 判定の手順

3ステップ

  1. \(p \Rightarrow q\) を調べる（偽なら反例を探す）
  2. \(q \Rightarrow p\) を調べる（偽なら反例を探す）
  3. 表にあてはめて答える
\(p \Rightarrow q\) \(q \Rightarrow p\) 答え
真 偽 \(p\) は \(q\) であるための十分条件（必要ではない）
偽 真 \(p\) は \(q\) であるための必要条件（十分ではない）
真 真 必要十分条件
偽 偽 必要条件でも十分条件でもない

例題1

\(x\) を実数とする。\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための何条件か。

解説

\(P=\{3\}\)、\(Q=\{3,\,-3\}\)。

  • \(x=3 \Rightarrow x^2=9\)：真
  • \(x^2=9 \Rightarrow x=3\)：偽（反例 \(x=-3\)）

よって \(x=3\) は \(x^2=9\) であるための十分条件（必要ではない）。

例題2

\(x\) を実数とする。\(x^2>0\) は \(x \neq 0\) であるための何条件か。

解説

実数では \(x^2>0 \iff x \neq 0\) です。

  • \(x^2>0 \Rightarrow x \neq 0\)：真
  • \(x \neq 0 \Rightarrow x^2>0\)：真

両方真なので必要十分条件。真理集合が \(P=Q=\{x \mid x \neq 0\}\) と一致しています。

例題3

\(\triangle ABC\) について、「正三角形である」は「二等辺三角形である」ための何条件か。

解説

正三角形は必ず二等辺三角形ですが、二等辺三角形は正三角形とは限りません（反例：\(3,3,4\) の三角形）。

よって「正三角形である」は「二等辺三角形である」ための十分条件（必要ではない）。 集合で見ると、正三角形の集合が二等辺三角形の集合の内側に入っています。

例題4

\(x,\,y\) を実数とする。「\(x+y>0\)」は「\(x>0\) かつ \(y>0\)」であるための何条件か。

解説
  • \(x+y>0 \Rightarrow x>0\) かつ \(y>0\)：偽（反例 \(x=5,\,y=-1\)）
  • \(x>0\) かつ \(y>0 \Rightarrow x+y>0\)：真

よって「\(x+y>0\)」は必要条件（十分ではない）。

「かつ」でしぼった条件のほうが集合は小さくなる、と考えると向きを間違えません。

4. よく出る組み合わせ

\(p\) \(q\) \(p\) は \(q\) の
\(x=2\) \(x^2=4\) 十分条件
\(\lvert x \rvert<1\) \(x<1\) 十分条件
\(x\) は実数 \(x\) は有理数 必要条件
\(x\) は \(6\) の倍数 \(x\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数 必要十分条件
\(x>0\) \(x\) は整数 どちらでもない

迷ったら具体例を1つ作る

反例が1つ見つかれば、その向きの矢印は切れます。 \(x=-1,\,0,\,\tfrac12,\,2\) のような「よく効く値」をいくつか用意しておくと速く判定できます。

練習問題

\(x,\,y\) は実数、\(n\) は整数とします。次の空欄にあてはまる語句を「十分条件（必要ではない）／必要条件（十分ではない）／必要十分条件／どちらでもない」から選びなさい。

  1. \(x=-1\) は \(x^2=1\) であるための（　）。
  2. \(n\) が \(4\) の倍数であることは、\(n\) が偶数であるための（　）。
  3. \(x>1\) は \(x>0\) であるための（　）。
  4. \(x^2=y^2\) は \(x=y\) であるための（　）。
  5. \(xy=0\) は \(x=0\) または \(y=0\) であるための（　）。
  6. \(x\) が有理数であることは、\(x\) が実数であるための（　）。
  7. \(x+y=2\) かつ \(xy=1\) は、\(x=y=1\) であるための（　）。
答えと解説

1. 十分条件（必要ではない）。\(x=-1 \Rightarrow x^2=1\) は真、逆は \(x=1\) が反例。

2. 十分条件（必要ではない）。\(4\) の倍数の集合は偶数の集合の内側。逆は \(n=2\) が反例。

3. 十分条件（必要ではない）。逆は \(x=0.5\) が反例。

4. 必要条件（十分ではない）。\(x=y \Rightarrow x^2=y^2\) は真ですが、逆は \(x=1,\,y=-1\) が反例。

5. 必要十分条件。実数では「積が \(0\) ⟺ どちらかが \(0\)」。

6. 十分条件（必要ではない）。有理数はすべて実数、逆は \(\sqrt2\) が反例。

7. 必要十分条件。\(x,\,y\) は \(t^2-2t+1=0\) の解なので \(t=1\)（重解）、つまり \(x=y=1\)。逆も明らかに成り立ちます。

次に進む