コンテンツにスキップ

最大値と最小値

二次関数の最大・最小は、頂点と両端の 3 か所を比べるだけです。難しく見えるのは「定義域がつくと、頂点が使えないことがある」という一点だけ。ここを図で押さえてしまいましょう。

1. 定義域がないとき

\(x\) の範囲に制限がなければ、答えはいつでも頂点です。

\(a\) の符号 グラフ 最大値 最小値
\(a>0\)（下に凸） \(\cup\) なし（いくらでも大きくなる） 頂点の \(y\) 座標
\(a<0\)（上に凸） \(\cap\) 頂点の \(y\) 座標 なし（いくらでも小さくなる）

「最大値なし」も立派な答え

\(y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3\) は、\(x=2\) のとき最小値 \(-3\)。最大値はありません。 「最大値は \(\infty\)」とは書かず、「最大値はない」と答えます。

2. 定義域があるとき

\(\alpha \leqq x \leqq \beta\) のような範囲がつくと、頂点がその範囲に入っているかどうかで答えが変わります。

調べるのは 3 か所だけ

  1. 左端 \(x=\alpha\) の値
  2. 右端 \(x=\beta\) の値
  3. 頂点（ただし定義域に入っているときだけ）

この中の最大が最大値、最小が最小値です。

頂点＝最小 頂点が定義域の中 左端＝最小 頂点が定義域の外
色の帯が定義域。頂点が帯から外れると、答えは端にうつる。

下のラボで定義域の左端・右端を動かすと、最大・最小の印がどの瞬間に端から頂点へ飛びうつるかが見えます。\(a\) を負にして、最大と最小が入れかわることも確かめましょう。

例題1

\(y=x^2-4x+1\)（\(0 \leqq x \leqq 3\)）の最大値と最小値を求めなさい。

解説

平方完成して \(y=(x-2)^2-3\)。頂点 \((2,\,-3)\) は \(0 \leqq x \leqq 3\) の中にあります。

調べる点 \(x\) \(y\)
左端 \(0\) \(1\)
頂点 \(2\) \(-3\)
右端 \(3\) \(-2\)

よって \(x=0\) のとき最大値 \(1\)、\(x=2\) のとき最小値 \(-3\)。

例題2

\(y=x^2-4x+1\)（\(3 \leqq x \leqq 5\)）の最大値と最小値を求めなさい。

解説

頂点 \(x=2\) は定義域の外（左側）なので、この範囲ではグラフは増加しつづけます。

  • \(x=3\) のとき \(y=-2\) → 最小値 \(-2\)
  • \(x=5\) のとき \(y=6\) → 最大値 \(6\)

頂点の値 \(-3\) は、この範囲ではとることができないので答えになりません。

例題3

\(y=-2x^2+4x+1\)（\(-1 \leqq x \leqq 2\)）の最大値と最小値を求めなさい。

解説

\(y=-2(x^2-2x)+1=-2(x-1)^2+3\)。上に凸で頂点 \((1,\,3)\) は定義域の中。

調べる点 \(x\) \(y\)
左端 \(-1\) \(-5\)
頂点 \(1\) \(3\)
右端 \(2\) \(1\)

\(x=1\) のとき最大値 \(3\)、\(x=-1\) のとき最小値 \(-5\)。上に凸なので、頂点が担当するのは最大値です。

3. 文章題は「文字でおく → 定義域を書く」

定義域を書き忘れない

長さ・個数・時間には必ず範囲があります。 \(x>0\) のような条件を書かないと、\(x=-3\) のような意味のない答えを出してしまいます。

例題4

周の長さが \(20\) cm の長方形のうち、面積が最大になるものの面積を求めなさい。

解説

縦を \(x\) cm とすると、横は \(10-x\) cm。長さは正なので \(0<x<10\)。

\[S=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5)^2+25\]

上に凸で頂点 \(x=5\) は \(0<x<10\) の中にあるので、\(x=5\) のとき最大値 \(25\)。

答え：\(25\) cm²（縦も横も \(5\) cm、つまり正方形のとき）。

例題5

地上から真上に投げたボールの \(t\) 秒後の高さが \(h=-5t^2+20t\)（m）で表されるとき、最高到達点の高さと、そのときの時刻を求めなさい。

解説

\(h=-5(t^2-4t)=-5(t-2)^2+20\)。

\(t=2\) のとき最高 \(20\) m。\(h=0\) となるのは \(t=0,\,4\) なので、定義域は \(0 \leqq t \leqq 4\) で、頂点はその中に入っています。

4. \(x\) の 2 次式を別の文字におきかえる

\(x^2\) のかたまりが出てきたら、おきかえた文字の定義域を必ず求め直します。

例題6

\(y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+1\)（\(0 \leqq x \leqq 3\)）の最小値を求めなさい。

解説

\(t=x^2-2x=(x-1)^2-1\) とおきます。\(0 \leqq x \leqq 3\) での \(t\) の範囲は、頂点 \(x=1\) で \(t=-1\)、右端 \(x=3\) で \(t=3\) なので \(-1 \leqq t \leqq 3\)。

\[y=t^2+4t+1=(t+2)^2-3\]

頂点 \(t=-2\) は \(-1 \leqq t \leqq 3\) の外なので、左端 \(t=-1\) で最小。

\(y=(-1)^2+4(-1)+1=-2\) より最小値 \(-2\)（このとき \(x=1\)）。

\(t\) の範囲を \(-\infty<t<\infty\) のまま計算して \(-3\) と答えるのが典型的な誤答です。

練習問題

  1. \(y=x^2-6x+5\)（\(0 \leqq x \leqq 2\)）の最大値と最小値を求めなさい。
  2. \(y=x^2-6x+5\)（\(2 \leqq x \leqq 5\)）の最大値と最小値を求めなさい。
  3. \(y=-x^2+2x+3\)（\(-2 \leqq x \leqq 0\)）の最大値と最小値を求めなさい。
  4. \(y=2x^2+4x+5\) の最小値を求めなさい（定義域の制限なし）。最大値はあるか答えなさい。
  5. \(y=x^2-2x+3\)（\(0 \leqq x \leqq a\)、\(a>0\)）について、最小値が \(2\) となる \(a\) の範囲を求めなさい。
  6. 周の長さが \(24\) m のフェンスで長方形の囲いを作るとき、面積の最大値を求めなさい。
  7. \(y=(x^2+2x)^2-2(x^2+2x)\)（\(-3 \leqq x \leqq 1\)）の最小値を求めなさい。
答えと解説

1. \(y=(x-3)^2-4\)。頂点 \(x=3\) は定義域の外（右側）で、この範囲では減少。 \(x=0\) で最大値 \(5\)、\(x=2\) で最小値 \(-3\)。

2. 頂点 \(x=3\) は \(2 \leqq x \leqq 5\) の中。左端 \(x=2\) で \(-3\)、頂点で \(-4\)、右端 \(x=5\) で \(0\)。 最大値 \(0\)（\(x=5\)）、最小値 \(-4\)（\(x=3\)）。

3. \(y=-(x-1)^2+4\)。頂点 \(x=1\) は定義域の外。\(x=0\) で \(3\)、\(x=-2\) で \(-5\)。 最大値 \(3\)（\(x=0\)）、最小値 \(-5\)（\(x=-2\)）。

4. \(y=2(x+1)^2+3\) より \(x=-1\) で最小値 \(3\)。下に凸で制限がないので最大値はない。

5. \(y=(x-1)^2+2\) なので、最小値 \(2\) をとるのは \(x=1\) が定義域に入るとき。よって \(\boldsymbol{a \geqq 1}\)。 （\(a<1\) のときは右端 \(x=a\) が最小で、値は \(2\) より大きくなります。）

6. 縦を \(x\) m とすると横は \(12-x\) m で \(0<x<12\)。\(S=-(x-6)^2+36\) より最大 \(36\) m²。

7. \(t=x^2+2x=(x+1)^2-1\) とおくと、\(-3 \leqq x \leqq 1\) では \(-1 \leqq t \leqq 3\)。 \(y=t^2-2t=(t-1)^2-1\) で、頂点 \(t=1\) は範囲の中にあるので最小値 \(-1\)。

次に進む