コンテンツにスキップ

変換公式（90°−θ、180°−θ）

角を置きかえて、覚えている角の三角比で表すための公式です。鈍角を鋭角に直すときによく使います。

変換公式

\[\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\qquad \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta,\qquad \tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}\]
\[\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta,\qquad \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta,\qquad \tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\]

2つの点を同時に動かして確かめる

1. 90°−θ の公式

なぜ成り立つのか

直角三角形の3つの角を足すと \(180^\circ\) です。直角が \(90^\circ\) なので、残り2つの角を足すと \(90^\circ\) になります。

つまり、一方の角が \(\theta\) なら、もう一方は \(90^\circ-\theta\) です。

ここで、同じ三角形を反対の角から見るとどうなるかを考えます。

\(\theta\) から見たとき \(90^\circ-\theta\) から見たとき
対辺 \(a\) \(b\)
隣辺 \(b\) \(a\)
斜辺 \(c\) \(c\)

対辺と隣辺が入れかわります。 したがって、

\[\sin(90^\circ-\theta)=\frac{b}{c}=\cos\theta,\qquad \cos(90^\circ-\theta)=\frac{a}{c}=\sin\theta\]

\(\tan\) は分子と分母が入れかわるので逆数になります。

\[\tan(90^\circ-\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{\tan\theta}\]

覚え方：sin と cos が入れかわる

「co」は complementary（余角）に由来します。cos は「余角の sin」という意味で、まさにこの関係を表しています。

使ってみる

\[\sin80^\circ=\cos10^\circ,\qquad \cos70^\circ=\sin20^\circ,\qquad \tan50^\circ=\frac{1}{\tan40^\circ}\]

\(45^\circ\) より大きい角を、\(45^\circ\) より小さい角に直せます。

2. 180°−θ の公式

なぜ成り立つのか

単位円で、\(\theta\) の点と \(180^\circ-\theta\) の点を比べます。この2点は \(y\) 軸について対称です。

\(y\) 軸対称では、

  • \(y\) 座標は変わらない → \(\sin\) は同じ
  • \(x\) 座標は符号が逆 → \(\cos\) は符号が逆

したがって、

\[\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta,\qquad \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\]

\(\tan\) は \(\dfrac{y}{x}\) なので、分母だけ符号が変わって

\[\tan(180^\circ-\theta)=\frac{y}{-x}=-\tan\theta\]

覚え方：sin だけそのまま

\(\sin\) は変わらず、\(\cos\) と \(\tan\) は負になる。 前のページの表で \(\sin\) の行だけが左右対称だったのは、この公式の現れです。

使ってみる

\[\sin170^\circ=\sin10^\circ,\qquad \cos140^\circ=-\cos40^\circ,\qquad \tan120^\circ=-\tan60^\circ\]

3. 2つの公式の使い分け

目的 使う公式
鈍角を鋭角に直したい \(180^\circ-\theta\)
\(45^\circ\) より大きい鋭角を小さくしたい \(90^\circ-\theta\)
\(\sin\) を \(\cos\) に（またはその逆に）変えたい \(90^\circ-\theta\)

4. 例題

例題1

\(\sin150^\circ\) を、鋭角の三角比で表して値を求めなさい。

解説

\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\) なので、\(180^\circ-\theta\) の公式を使います。

\[\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12\]

例題2

\(\cos135^\circ\) の値を求めなさい。

解説

\(135^\circ=180^\circ-45^\circ\) なので、

\[\cos135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ)=-\cos45^\circ=-\frac{1}{\sqrt2}\]

マイナスを付け忘れないことが最大の注意点です。

例題3

\(\sin65^\circ\) を \(\cos\) で表しなさい。

解説

\(65^\circ=90^\circ-25^\circ\) なので、

\[\sin65^\circ=\sin(90^\circ-25^\circ)=\cos25^\circ\]

例題4

\(\sin^2 20^\circ+\sin^2 70^\circ\) の値を求めなさい。

解説

\(70^\circ=90^\circ-20^\circ\) に注目します。

\[\sin70^\circ=\sin(90^\circ-20^\circ)=\cos20^\circ\]

したがって、

\[\sin^2 20^\circ+\sin^2 70^\circ=\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1\]

相互関係の (II) に持ち込むのがねらいです。

例題5

\(\tan10^\circ\times\tan80^\circ\) の値を求めなさい。

解説

\(80^\circ=90^\circ-10^\circ\) なので、

\[\tan80^\circ=\tan(90^\circ-10^\circ)=\frac{1}{\tan10^\circ}\]

よって、

\[\tan10^\circ\times\frac{1}{\tan10^\circ}=1\]

練習問題

  1. \(\sin120^\circ\) を鋭角の三角比で表しなさい。
  2. \(\cos160^\circ\) を鋭角の三角比で表しなさい。
  3. \(\tan135^\circ\) の値を求めなさい。
  4. \(\cos75^\circ\) を \(\sin\) で表しなさい。
  5. \(\cos^2 35^\circ+\cos^2 55^\circ\) の値を求めなさい。
  6. \(\sin110^\circ-\sin70^\circ\) の値を求めなさい。
  7. \(\dfrac{\sin140^\circ}{\cos50^\circ}\) の値を求めなさい。
答えと解説

1. \(120^\circ=180^\circ-60^\circ\) なので、

\[\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\]

2. \(160^\circ=180^\circ-20^\circ\) なので、

\[\cos160^\circ=-\cos20^\circ\]

3. \(135^\circ=180^\circ-45^\circ\) なので、

\[\tan135^\circ=-\tan45^\circ=-1\]

4. \(75^\circ=90^\circ-15^\circ\) なので、

\[\cos75^\circ=\sin15^\circ\]

5. \(55^\circ=90^\circ-35^\circ\) より \(\cos55^\circ=\sin35^\circ\)。したがって、

\[\cos^2 35^\circ+\sin^2 35^\circ=1\]

6. \(110^\circ=180^\circ-70^\circ\) より \(\sin110^\circ=\sin70^\circ\)。したがって、

\[\sin70^\circ-\sin70^\circ=0\]

7. \(140^\circ=180^\circ-40^\circ\) より \(\sin140^\circ=\sin40^\circ\)。

また \(50^\circ=90^\circ-40^\circ\) より \(\cos50^\circ=\sin40^\circ\)。したがって、

\[\frac{\sin40^\circ}{\sin40^\circ}=1\]

次に進む