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三角比の相互関係

\(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\) はばらばらの値ではなく、3つの式で結ばれています。1つ分かれば、残りの2つが求められます。

三角比の相互関係

\[\text{(I)}\quad \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
\[\text{(II)}\quad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\]
\[\text{(III)}\quad 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\]

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1. なぜ成り立つのか

斜辺 \(c\)、対辺 \(a\)、隣辺 \(b\) の直角三角形で考えます。定義から

\[\sin\theta=\frac{a}{c},\qquad \cos\theta=\frac{b}{c},\qquad \tan\theta=\frac{a}{b}\]

(I) の導き方

\(\sin\theta\) を \(\cos\theta\) で割ってみます。

\[\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{c}\times\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan\theta\]

分母の \(c\) が約分で消え、\(\tan\theta\) の定義そのものになります。

(II) の導き方

三平方の定理 \(a^2+b^2=c^2\) から出発します。\(a=c\sin\theta\)、\(b=c\cos\theta\) を代入すると、

\[(c\sin\theta)^2+(c\cos\theta)^2=c^2\]
\[c^2\sin^2\theta+c^2\cos^2\theta=c^2\]

両辺を \(c^2\) で割って、

\[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\]

つまり (II) は三平方の定理そのものです。

(III) の導き方

(II) の両辺を \(\cos^2\theta\) で割ります。

\[\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\]

(I) より \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta\) なので、

\[\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\]

(III) は覚えなくてもよい

(II) を \(\cos^2\theta\) で割ればその場で作れます。覚えるのは (I) と (II) の2つで足りると考えておくと負担が減ります。

2. 公式の使い分け

どれを使うかは、何が分かっていて、何を求めたいかで決まります。

分かっているもの 求めたいもの 使う式
\(\sin\theta\) \(\cos\theta\) (II)
\(\cos\theta\) \(\sin\theta\) (II)
\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) \(\tan\theta\) (I)
\(\tan\theta\) \(\cos\theta\) (III)
\(\tan\theta\) \(\sin\theta\) (III) → (I) の順

\(\tan\theta\) から出発するときは、(III) で \(\cos\theta\) を求めてから (I) で \(\sin\theta\) という2段階になります。

3. 符号の決め方

\(\sin^2\theta=\dfrac{9}{25}\) から \(\sin\theta\) を求めるとき、\(\pm\dfrac35\) の両方が候補になります。どちらを選ぶかは角の範囲で決まります。

数学Iで扱う \(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) の範囲では、

\(0^\circ<\theta<90^\circ\)（鋭角） \(90^\circ<\theta<180^\circ\)（鈍角）
\(\sin\theta\) \(+\) \(+\)
\(\cos\theta\) \(+\) \(-\)
\(\tan\theta\) \(+\) \(-\)

sin はこの範囲では負にならない

\(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) では \(\sin\theta\geqq0\) です。符号を考える必要があるのは \(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) だけ、と覚えておくと迷いません。

4. 例題

例題1（sin から求める）

\(\sin\theta=\dfrac35\)、\(0^\circ<\theta<90^\circ\) のとき、\(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) を求めなさい。

解説

(II) を使います。

\[\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\]

鋭角なので \(\cos\theta>0\)。よって \(\cos\theta=\dfrac45\)。

次に (I) を使って、

\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34\]

例題2（鈍角のとき）

\(\sin\theta=\dfrac35\)、\(90^\circ<\theta<180^\circ\) のとき、\(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) を求めなさい。

解説

\(\cos^2\theta=\dfrac{16}{25}\) までは例題1と同じです。

鈍角なので \(\cos\theta<0\)。よって \(\cos\theta=-\dfrac45\)。

\[\tan\theta=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34\]

同じ \(\sin\theta\) でも、角の範囲が変われば答えが変わります。

例題3（tan から求める）

\(\tan\theta=2\)、\(0^\circ<\theta<90^\circ\) のとき、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を求めなさい。

解説

まず (III) で \(\cos\theta\) を求めます。

\[\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta=1+4=5\]
\[\cos^2\theta=\frac15\]

鋭角なので \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\)。次に (I) より、

\[\sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta=2\times\frac{1}{\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}\]

例題4（式を簡単にする）

\((\sin\theta+\cos\theta)^2\) を簡単にしなさい。

解説

展開してから (II) を使います。

\[(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\]

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) なので、

\[=1+2\sin\theta\cos\theta\]

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) の形を見つけて 1 に置きかえるのが定石です。

練習問題

  1. \(\cos\theta=\dfrac35\)、\(0^\circ<\theta<90^\circ\) のとき、\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) を求めなさい。
  2. \(\sin\theta=\dfrac{1}{3}\)、\(90^\circ<\theta<180^\circ\) のとき、\(\cos\theta\) を求めなさい。
  3. \(\tan\theta=3\)、\(0^\circ<\theta<90^\circ\) のとき、\(\cos\theta\) を求めなさい。
  4. \((\sin\theta-\cos\theta)^2\) を簡単にしなさい。
  5. \(\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}\) を簡単にしなさい。
  6. \(\sin\theta\cos\theta=\dfrac14\) のとき、\((\sin\theta+\cos\theta)^2\) の値を求めなさい。
答えと解説

1. \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\)。鋭角なので \(\sin\theta=\dfrac45\)。

\[\tan\theta=\frac{4/5}{3/5}=\frac43\]

2. \(\cos^2\theta=1-\dfrac19=\dfrac89\)。鈍角なので負を選んで、

\[\cos\theta=-\frac{2\sqrt2}{3}\]

3. \(\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+9=10\) より \(\cos^2\theta=\dfrac{1}{10}\)。鋭角なので、

\[\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}}\]

4. 展開して (II) を使います。

\[(\sin\theta-\cos\theta)^2=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1-2\sin\theta\cos\theta\]

5. (III) より \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\) なので、

\[\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta\]

6. \((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta\) に代入して、

\[=1+2\times\frac14=\frac32\]

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