三角比の拡張¶
直角三角形の定義では、\(\theta\) は \(0^\circ\) より大きく \(90^\circ\) より小さい角に限られます。鈍角の三角比を考えるには、定義を作り直す必要があります。
1. 座標を使った定義¶
原点 \(\mathrm{O}\) を中心とする半径 \(r\) の円をかき、\(x\) 軸の正の向きから角 \(\theta\) だけ回った位置にある円周上の点を \(\mathrm{P}(x,y)\) とします。
座標による三角比の定義
\(r\) は半径なので常に正ですが、\(x\) と \(y\) は負にもなります。ここが直角三角形の定義との大きな違いです。
直角三角形の定義と矛盾しない¶
\(\theta\) が鋭角のとき、\(\mathrm{P}\) は第1象限にあります。このとき \(y\) が対辺、\(x\) が隣辺、\(r\) が斜辺にあたるので、前と同じ値になります。定義を広げただけで、元の意味は保たれています。
2. 半径1の円（単位円）で考える¶
\(r=1\) にすると式が簡単になります。
つまり単位円上の点は
と書けます。cos が \(x\) 座標、sin が \(y\) 座標です。
3. 鈍角の三角比¶
\(90^\circ<\theta<180^\circ\) のとき、\(\mathrm{P}\) は第2象限にあります。
- \(x<0\) なので \(\cos\theta<0\)
- \(y>0\) なので \(\sin\theta>0\)
- \(\tan\theta=\dfrac{y}{x}<0\)
「第2象限だから」で覚えない
符号は暗記するものではなく、座標を見れば分かるものです。\(x\) 座標が左側（マイナス）にあるから \(\cos\) が負、と考えれば忘れません。
120°を求めてみる¶
\(\theta=120^\circ\) のとき、点 \(\mathrm{P}\) は \(60^\circ\) の点を \(y\) 軸について折り返した位置にあります。
\(60^\circ\) の点は \(\left(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) なので、\(120^\circ\) の点は \(\left(-\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)。したがって、
4. 0°、90°、180° の三角比¶
三角形が作れない角でも、座標の定義なら値が決まります。
| \(\theta\) | 点 \(\mathrm{P}\) の座標 | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \((1,0)\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(90^\circ\) | \((0,1)\) | \(1\) | \(0\) | 定義されない |
| \(180^\circ\) | \((-1,0)\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
90°で tan が定義されない理由
\(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\) で、\(90^\circ\) のときは \(x=0\)。0で割ることはできないので、値が決まりません。
5. 0°〜180° の三角比の表¶
| \(\theta\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(120^\circ\) | \(135^\circ\) | \(150^\circ\) | \(180^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{1}{\sqrt2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt2}\) | \(\frac12\) | \(0\) | \(-\frac12\) | \(-\frac{1}{\sqrt2}\) | \(-\frac{\sqrt3}{2}\) | \(-1\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | — | \(-\sqrt3\) | \(-1\) | \(-\frac{1}{\sqrt3}\) | \(0\) |
\(\sin\) の行を見ると、\(90^\circ\) を境に左右対称になっています。\(\cos\) は符号が反転しています。この規則が次の変換公式につながります。
6. 例題¶
例題1¶
\(\sin150^\circ,\cos150^\circ,\tan150^\circ\) を求めなさい。
解説
\(150^\circ\) の点は、\(30^\circ\) の点を \(y\) 軸について折り返した位置にあります。
\(30^\circ\) の点は \(\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac12\right)\) なので、\(150^\circ\) の点は \(\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac12\right)\)。
例題2¶
\(\sin135^\circ,\cos135^\circ,\tan135^\circ\) を求めなさい。
解説
\(45^\circ\) の点 \(\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\ \dfrac{1}{\sqrt2}\right)\) を折り返して、\(\left(-\dfrac{1}{\sqrt2},\ \dfrac{1}{\sqrt2}\right)\)。
例題3¶
\(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) で \(\cos\theta=-\dfrac12\) となる \(\theta\) を求めなさい。
解説
\(\cos\theta\) が \(x\) 座標なので、\(x=-\dfrac12\) となる点を探します。
\(\cos60^\circ=\dfrac12\) なので、その折り返しである \(120^\circ\) が答えです。
練習問題¶
- \(\sin120^\circ\) と \(\cos120^\circ\) を求めなさい。
- \(\tan135^\circ\) を求めなさい。
- \(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) で \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\) となる \(\theta\) をすべて求めなさい。
- \(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) で \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) となる \(\theta\) を求めなさい。
- \(\theta=90^\circ\) のとき \(\tan\theta\) が定義されないのはなぜですか。
- \(\cos\theta<0\) となるのは、\(\theta\) がどんな範囲のときですか。
答えと解説
1. \(60^\circ\) の点 \(\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) を折り返して \(\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)。
2. \(135^\circ\) の点は \(\left(-\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\) なので、
3. \(y\) 座標が \(\dfrac12\) になる点は2つあります。
\(\sin\) は \(90^\circ\) を境に対称なので、答えが2つになることに注意しましょう。
4. \(x\) 座標が \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) になるのは \(150^\circ\) のときだけです。
\(\cos\) は \(0^\circ\) から \(180^\circ\) まで減り続けるので、答えは1つです。
5. \(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\) で、\(90^\circ\) のときは \(x=0\) となり、0で割ることになるため。
6. \(x\) 座標が負になるのは第2象限なので、
次に進む¶
- 変換公式 — 90°−θ、180°−θ で角を置きかえる