令和8年度 都立高校入試 数学¶

答え -1

\(-6^2 = -36\)（マイナスは2乗しません）。
\(\dfrac{1}{4} \times (-36) = -9\)、\(8 + (-9) =\) \(-1\)。

答え (-4a+7b)/9

\(\dfrac{3(a+2b)}{9} - \dfrac{7a-b}{9} = \dfrac{3a+6b-7a+b}{9} =\) \(\dfrac{-4a+7b}{9}\)。
\(-(7a-b) = -7a+b\) と符号に注意します。

答え 6-2√5

\(1^2 - 2\times1\times\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 =\) \(6 - 2\sqrt{5}\)。
\((\sqrt{5})^2 = 5\) を忘れずに。

答え -3

\(7x - 2x = -9 - 6\) より \(5x = -15\)、よって \(x = -3\)。

答え x = 7　y = -2

上の式×2: \(2x + 6y = 2\)。下の式との差をとると \(y = -2\)。
\(x + 3(-2) = 1\) より \(x = 7\)。

答え 小さい解 -8　大きい解 1

かけて \(-8\)、たして \(7\) になるのは \(8\) と \(-1\)。
\((x+8)(x-1) = 0\) より \(x = -8, 1\)。

答え エ　0.68

15〜20分の階級までの累積度数は \(4 + 15 + 28 + 21 = 68\) 人。
累積相対度数 \(= \dfrac{68}{100} =\) \(0.68\)。
「累積」なのでその階級までの合計を使います。0.21 はその階級だけの相対度数です。

答え 23

直径に対する円周角より \(\angle ACB = 90°\)。
\(\angle ABC = 180° - 90° - 65° = 25°\)。
弧の関係と \(\angle BCD = 42°\) から計算すると \(\angle CBD =\) \(23°\)。
直径 → 円周角90° が出発点です。

答え 記述問題（自分で書いてから、下の解説と見くらべましょう）

90°回転移動なので、①OAを引く ②OでOAに垂直な直線を作図する（反時計回りの側）③コンパスでOAの長さをうつし、\(OB = OA\) となる点Bをとる、の手順です。
回転移動では中心からの距離が変わらないことがポイント。作図に使った弧は消すと減点になります。

自分で確かめるポイント

• 点Oと点Aを結んだ
• 点Oを中心に、OAと90°をなす半直線を作図した（垂線の作図）
• その半直線上に OB = OA となる点をとった
• 点Bと書き、作図に使った線を消していない

答え 90

\(P = 10a+b\)、\(Q = 10b+a\) とすると \(R = 11(a+b)\)。
\(S = (a+b)+(b+a) = 2(a+b)\)。
\(R - S = 9(a+b)\)。各位の数の和が10なので \(9 \times 10 =\) \(90\)。

答え 記述問題（自分で書いてから、下の解説と見くらべましょう）

\(X = 100a+10b+c\)、\(Y = 100c+10b+a\) とすると
\(Z = X+Y = 101a + 20b + 101c\)
\(W = (a+b+c)+(c+b+a) = 2a+2b+2c\)
\(Z-W = 99a + 18b + 99c =\) \(9(11a+2b+11c)\)
\(11a+2b+11c\) は整数だから、\(9(11a+2b+11c)\) は9の倍数。
「\(9 \times\) 整数」の形に変形して、かっこの中が整数であることを述べるのが定石です。

自分で確かめるポイント

• X = 100a + 10b + c、Y = 100c + 10b + a と表した
• Z = X + Y = 101a + 20b + 101c を求めた
• W = (a+b+c) + (c+b+a) = 2a + 2b + 2c を求めた
• Z − W = 99a + 18b + 99c = 9(11a + 2b + 11c) と変形した
• 「11a+2b+11c は整数だから9の倍数」と結論づけた

答え ① エ　② キ

\(A(-4, 8)\)、\(B(2, 2)\)。PがAからBまで動くとき、途中で原点を通るので \(a\) の最小値は 0（①エ）。
最大値は \(x = -4\) のときの 8（②キ）。
端の値だけを見て \(2 \leqq a \leqq 8\) としないよう注意しましょう。

答え イ　\(y = -x + \dfrac{15}{2}\)

\(A(-4,8)\)、\(B(2,2)\) より傾き \(= \dfrac{2-8}{2-(-4)} = -1\)。
\(P\left(3, \dfrac{9}{2}\right)\) を通るので \(\dfrac{9}{2} = -3 + c\)、\(c = \dfrac{15}{2}\)。
よって \(y = -x + \dfrac{15}{2}\)。

答え 6

\(A(-4,8)\)、\(B(2,2)\)、\(C(4,8)\)（Aとy軸対称）、\(P\left(t, \dfrac{t^2}{2}\right)\)、\(Q(t,0)\)、\(R(t,8)\)。
四角形ABCPと \(\triangle BQR\) の面積を \(t\) で表し、4倍の関係を解くと \(t = 6\)。

答え ア　\((135-a)\) 度

正方形の対角線BDより \(\angle ADB = 45°\)。
\(\triangle AQD\) に注目すると、\(\angle AQD = 180° - 45° - a° = (135-a)°\)。
\(\angle BQP\) は \(\angle AQD\) の対頂角なので \((135-a)\) 度。

答え 記述問題（自分で書いてから、下の解説と見くらべましょう）

①の証明
△AQDと△RSCにおいて、四角形ABCDは正方形だから AD ∥ BR。
平行線の錯角は等しいから \(\angle DAQ = \angle CRS\) …(1)
対頂角は等しいから \(\angle AQD = \angle RQB\) …(2)
BD ∥ CS より平行線の同位角は等しいから \(\angle RQB = \angle RSC\) …(3)
(2)(3)より \(\angle AQD = \angle RSC\) …(4)
(1)(4)より2組の角がそれぞれ等しいから \(\triangle AQD \backsim \triangle RSC\)

②の答え: PS = \(\dfrac{15}{7}\) cm（おか = 15、き = 7）

自分で確かめるポイント

• ① AD ∥ BR から平行線の錯角が等しいことを示した
• ① 対頂角が等しいこと、BD ∥ CS から同位角が等しいことを使った
• ① 「2組の角がそれぞれ等しい」と結論づけた
• ② PS = 15/7 cm と答えた

答え 60

中点連結定理より \(MN = \dfrac{1}{2}BD = 4\)。
PN ∥ CD より P は AC の中点なので \(PN = \dfrac{1}{2}CD = 4\)、\(MP = \dfrac{1}{2}BC = 4\)。
3辺が等しい正三角形になるので \(\angle MPN =\) \(60°\)。

答え 20√3

\(\angle ADB = \angle ADC = 90°\) より AD は面BCDに垂直。△BCDは1辺8cmの正三角形です。
PC = 7AP より P は AC を \(1:7\) に分ける点。
立体M−CDNP を四面体に分けて計算すると、体積は \(20\sqrt{3}\) cm³ になります。