令和7年度 都立高校入試 数学¶

答え \(-6\)

累乗（\(6^2\)）→ 割り算 → 引き算の順に計算します。

📘 復習：中学1年の単元一覧（正負の数）

答え \(\dfrac{4a+9b}{5}\)

分母を5にそろえてから、分子どうしを計算します。

📘 復習：多項式の基本

答え \(-1\)

和と差の積の公式 \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) を使います。\(x = 3\sqrt{7}\)、\(y = 8\) とすると、

📘 復習：展開公式の基本・平方根の掛け算・割り算

答え \(x = 8\)

両辺に2をかけて分母をはらいます。

確かめ：左辺 \(= \dfrac{72-6}{2} = 33\)、右辺 \(= 32+1 = 33\) で一致します。

📘 復習：一次方程式の解き方

答え \(x = 4,\ y = 7\)

下の式が \(y = \cdots\) の形なので、代入法が早いです。\(y = 2x-1\) を上の式に代入すると、

\(y = 2 \times 4 - 1 = 7\)

確かめ：\(8 \times 4 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3\) ◯

📘 復習：連立方程式の解き方（代入法）

答え \(x = \dfrac{9 \pm \sqrt{53}}{2}\)

かけて7、たして \(-9\) になる整数の組がないので、解の公式を使います。

\(a=1,\ b=-9,\ c=7\) を代入すると、

📘 復習：二次方程式の基本

答え ① ア（\(-9\)）　② オ（\(0\)）

\(y = -x^2\) は上に凸の放物線で、頂点は原点 \((0,0)\) です。

変域 \(-2 \leqq x \leqq 3\) に \(x=0\) が含まれていることがポイントです。

• \(x=0\) のとき \(y = 0\) ← 最大値
• \(x=-2\) のとき \(y = -4\)
• \(x=3\) のとき \(y = -9\) ← 最小値

原点から遠いほど \(y\) は小さくなるので、\(|3| > |-2|\) より \(x=3\) で最小になります。

よって \(-9 \leqq y \leqq 0\)。

📘 復習：二次関数の基本・二次関数のグラフ問題

答え \(\dfrac{2}{5}\)　（あ = 2、い = 5）

すべての場合の数：5枚から3枚を選ぶ組み合わせは10通りです。

和が10以上になる場合：和を書き出して調べます。

4通りなので、確率は \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)。

📘 復習：確率の基本

答え 線分BCの垂直二等分線を作図し、辺ADとの交点をPとする。

考え方

「頂点B、頂点Cまでの距離が等しい点」つまり \(\mathrm{PB} = \mathrm{PC}\) となる点の集まりは、線分BCの垂直二等分線です。

この直線と辺ADの交点が、求める点Pになります。

作図の手順

1. 点Bを中心に、適当な半径の弧をかく
2. 点Cを中心に、同じ半径の弧をかく
3. 2つの弧の交点を2つ求め、それらを結ぶ直線をひく（これがBCの垂直二等分線）
4. その直線と辺ADの交点にPと書く

📘 復習：作図の基本・作図ワークスペースで練習できます

答え エ（\(12\) 倍）

まず \(b\) を \(a\) で表す

円周を12等分した点で向かい合う（＝直径の両端になる）のは、ちょうど半周＝6個分はなれた点どうしです。

実際、1と7、2と8、3と9… となっていますね。よって

AとBを計算する

したがって

答えは12倍です。

確かめ：\(a=1,\ b=7\) なら \(\mathrm{A}=4\)、\(\mathrm{B}=49-1=48\)。たしかに \(48 = 12 \times 4\) です。

📘 復習：因数分解の基本

答え（証明）

\(b\) を \(a\) を用いた式で表すと、 $\(b = a + 12\)$ \(d\) を \(c\) を用いた式で表すと、 $\(d = c + 12\)$

よって、 $\(\mathrm{P} = \frac{a+b+c+d}{4} = \frac{a + (a+12) + c + (c+12)}{4} = \frac{2a+2c+24}{4} = \frac{a+c+12}{2}\)$

\[24\mathrm{P} = 24 \times \frac{a+c+12}{2} = 12a + 12c + 144 \qquad \cdots (1)\]

また、 $\(\mathrm{Q} = bd - ac = (a+12)(c+12) - ac\)$ $\(= ac + 12a + 12c + 144 - ac = 12a + 12c + 144 \qquad \cdots (2)\)$

\((1)\)、\((2)\) より、 $\(\mathrm{Q} = 24\mathrm{P}\)$

考え方の流れ

1. 円周を24等分したので、向かい合う点は半周＝12個分はなれています。よって \(b = a+12\)、\(d = c+12\)。
2. \(\mathrm{P}\)（平均）を \(a\) と \(c\) だけの式にする
3. \(\mathrm{Q}\) も \(a\) と \(c\) だけの式にする
4. 両方を計算して、同じ式になったことを示す

答え ア（\(-8\)）

点Pは直線 \(\ell\) 上にあるので、\(y = \dfrac{1}{2}x+3\) に \(y = -1\) を代入します。

📘 復習：一次関数とグラフ

答え ウ（\(y = -\dfrac{2}{3}x - 4\)）

手順1：点Bの座標を求める

点Bは直線 \(\ell\) と \(x\) 軸の交点なので、\(y=0\) を代入します。

よって \(\mathrm{B}(-6,\ 0)\)。

手順2：2点A、Bを通る直線の式

\(\mathrm{A}(0,-4)\)、\(\mathrm{B}(-6,0)\) を通るので、

傾き \(= \dfrac{0-(-4)}{-6-0} = \dfrac{4}{-6} = -\dfrac{2}{3}\)

点Aは \(y\) 軸上にあるので、切片はそのまま \(-4\) です。

📘 復習：一次関数の式の決定

答え \(x = 7\)

点Pの \(x\) 座標を \(t\)（\(t>0\)）とおきます。点Pは直線 \(\ell\) 上にあるので

また \(\mathrm{A}(0,-4)\)、\(\mathrm{B}(-6,0)\) です。

手順1：\(\triangle \mathrm{AQP}\) の面積

線分QPは \(x\) 軸に垂直で、長さは点Pの \(y\) 座標そのものです。

これを底辺と見ると、高さは点A（\(x=0\)）から直線 \(x=t\) までの距離、つまり \(t\) です。

手順2：\(\triangle \mathrm{APB}\) の面積

こちらは線分ABを底辺と見ます。\(\mathrm{A}(0,-4)\)、\(\mathrm{B}(-6,0)\) より

直線ABの式は \(y = -\dfrac{2}{3}x-4\)、すなわち \(2x+3y+12 = 0\) です（〔問2〕で求めた直線と同じもの）。

点Pから直線ABまでの距離は

よって

手順3：条件の式を解く

\(\triangle \mathrm{APB} = 2 \times \triangle \mathrm{AQP}\) より

両辺に2をかけて

\(t>0\) より \(t+6 \neq 0\) なので、両辺を \((t+6)\) で割って

答え \(x = 7\)

確かめ：\(t=7\) のとき \(\mathrm{P}(7,\ 6.5)\)。\(\triangle\mathrm{APB} = \dfrac{91}{2}\)、\(\triangle\mathrm{AQP} = \dfrac{91}{4}\) でちょうど2倍です。◯

📘 復習：一次関数の利用・２点間の距離

答え イ（\((a+25)\) 度）

手順1：\(\angle \mathrm{QAB}\) を求める

ABは直径なので、直径に対する円周角より \(\angle \mathrm{AQB} = 90^\circ\)。

さらに \(\mathrm{AQ} = \mathrm{BQ}\) なので、\(\triangle \mathrm{ABQ}\) は直角二等辺三角形です。よって

手順2：\(\angle \mathrm{PAR}\) を求める

点Rは弧BQ上にあるので、半直線ARは \(\angle\mathrm{QAB}\) の内側にあります。点Pは線分OA上にあるので \(\angle\mathrm{PAR} = \angle\mathrm{BAR}\) であり、

手順3：外角の性質を使う

\(\triangle \mathrm{APR}\) に注目すると、\(\angle \mathrm{BPR}\) は頂点Pにおける外角です。

三角形の外角は、となり合わない2つの内角の和に等しいので、

答え \((a+25)\) 度

📘 復習：円周角と中心角・平行線と角

答え（証明）

\(\triangle \mathrm{APR}\) と \(\triangle \mathrm{AQR}\) において、

共通な辺だから、 $\(\mathrm{AR} = \mathrm{AR} \qquad \cdots (1)\)$

仮定から、 $\(\mathrm{AP} = \mathrm{AQ} \qquad \cdots (2)\)$

仮定から、弧BR ＝ 弧QR

等しい弧に対する円周角は等しいから、 $\(\angle \mathrm{PAR} = \angle \mathrm{QAR} \qquad \cdots (3)\)$

\((1)\)、\((2)\)、\((3)\) より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、 $\(\triangle \mathrm{APR} \equiv \triangle \mathrm{AQR}\)$

考え方の流れ

証明したい2つの三角形には、辺ARが共通です。まずこれを書きます。

次に、仮定 \(\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}\) がそのまま使えます。

残りはその間の角、つまり \(\angle\mathrm{PAR}\) と \(\angle\mathrm{QAR}\) が等しいことです。ここで仮定の「弧BR ＝ 弧QR」を使います。\(\angle\mathrm{PAR}\)（＝ \(\angle\mathrm{BAR}\)）は弧BRに対する円周角、\(\angle\mathrm{QAR}\) は弧QRに対する円周角なので、等しい弧に対する円周角は等しいから一致します。

📘 復習：合同と証明・三角形の相似の証明の基本

答え \(\dfrac{1}{5}\) 倍　（う = 1、え = 5）

手順1：長さの関係をつかむ

半径を \(r\) とすると \(\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = r\)。

点Pは線分OA上にあり \(\mathrm{AP} = 2\mathrm{OP}\) なので、OAを \(1:2\) に分けて

仮定 \(\mathrm{AP} = \mathrm{AQ}\) より \(\mathrm{AQ} = \dfrac{2}{3}r\) です。

手順2：直角と角の二等分を見つける

弧BR ＝ 弧QR より、点Rは弧QBの中点です。

中心Oと弧の中点Rを結んだ線分ORは、弦QBを垂直に二等分します。つまり

また〔問2〕①より \(\triangle\mathrm{APR} \equiv \triangle\mathrm{AQR}\) なので \(\angle\mathrm{PAR} = \angle\mathrm{QAR}\)、すなわちARは \(\angle\mathrm{QAB}\) を二等分しています。

手順3：面積を比べる

\(r = 3\)（\(\mathrm{OP}=1,\ \mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=2\)）として各点の位置を決め、\(\triangle\mathrm{RST}\) と四角形AORQの面積を求めると、

\(\triangle \mathrm{RST}\) : 四角形AORQ \(= 1 : 5\)

よって \(\triangle\mathrm{RST}\) は四角形AORQの \(\dfrac{1}{5}\) 倍です。

📘 復習：円と相似・面積の比と体積の比

答え \(24\ \mathrm{cm}^3\)　（お = 2、か = 4）

立体P-AEHDは、四角形AEHDを底面、点Pを頂点とする四角錐です。

底面の面積

四角形AEHDは長方形で、\(\mathrm{AD} = 6\ \mathrm{cm}\)、\(\mathrm{AE} = 4\ \mathrm{cm}\) なので

高さ

底面AEHDは辺ABに垂直な面です。高さは、点Pから面AEHDまでの距離になります。

点Pは線分ACの中点なので、Pから面AEHDまでの距離は \(\mathrm{AB}\) の半分、つまり

体積

📘 復習：角錐と円錐の体積と表面積

答え \(12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2\)　（き = 1、く = 2、け = 3）

手順1：3辺の長さを求める

座標で考えると整理しやすくなります。

点Pは線分ACを \(5:1\) に分ける点なので \(\mathrm{P}(5,\ 5,\ 0)\) です。

三平方の定理を使って、

• \(\mathrm{FH}\)：\(\mathrm{F}(6,0,-4)\)、\(\mathrm{H}(0,6,-4)\) より $\(\mathrm{FH} = \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}\)$
• \(\mathrm{FP}\)：\(\mathrm{F}(6,0,-4)\)、\(\mathrm{P}(5,5,0)\) より $\(\mathrm{FP} = \sqrt{1^2+5^2+4^2} = \sqrt{42}\)$
• \(\mathrm{PH}\)：\(\mathrm{P}(5,5,0)\)、\(\mathrm{H}(0,6,-4)\) より $\(\mathrm{PH} = \sqrt{5^2+1^2+4^2} = \sqrt{42}\)$

手順2：二等辺三角形として面積を求める

\(\mathrm{FP} = \mathrm{PH} = \sqrt{42}\) なので、\(\triangle\mathrm{FPH}\) はFHを底辺とする二等辺三角形です。

底辺FHの中点をMとすると \(\mathrm{FM} = 3\sqrt{2}\) で、高さPMは

よって

答え \(12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2\)

📘 復習：空間図形への応用・三平方の定理の基本