令和6年度 都立高校入試 数学¶

答え -8

\(-6^2\) は \(-(6\times6) = -36\)（マイナスは2乗しません）。
\(-36 \times \dfrac{1}{9} = -4\)、\(-4 - 4 =\) \(-8\)。
\((-6)^2 = 36\) としないよう注意しましょう。

答え (a+2b)/3

\(\dfrac{3(2a+b)}{3} - \dfrac{5a+b}{3} = \dfrac{6a+3b-5a-b}{3} =\) \(\dfrac{a+2b}{3}\)。
分子全体にマイナスがかかるので、\(-(5a+b) = -5a-b\) と符号に注意します。

答え 1+5√7

\((\sqrt{7})^2 + (-1+6)\sqrt{7} + (-1)\times6 = 7 + 5\sqrt{7} - 6 =\) \(1 + 5\sqrt{7}\)。
\((\sqrt{7})^2 = 7\) であることが出発点です。

答え 4

\(2x + x = 4 + 8\) より \(3x = 12\)、よって \(x = 4\)。
確かめ: 左辺 \(= 0\)、右辺 \(= 0\) で一致します。

答え x = 6　y = -3

上の式×4: \(20x + 28y = 36\)、下の式×7: \(21x + 28y = 42\)。
引き算すると \(x = 6\)。これを \(5x+7y=9\) に代入して \(30 + 7y = 9\)、\(7y = -21\)、\(y = -3\)。

答え 小さい解 7　大きい解 9

\(x - 8 = \pm 1\) なので \(x = 8 \pm 1\)。よって \(x = 7, 9\)。
展開して解の公式を使うこともできますが、\((\ )^2 = \) 数 の形は平方根で一気に解くのが速いです。

答え エ　A組、B組、C組の中で、四分位範囲が最も小さいのはB組である。

エが正解。四分位範囲は箱の横幅で読み取れ、B組の箱が最も短くなっています。
ア: C組のひげは30mに届いていません。イ: 最大値のひげが最も右まで伸びているのはB組。ウ: 箱ひげ図からは個々の記録は分かりません。

答え 36

弧ABは半円なので中心角180°。\(\overset{\frown}{AC} = \dfrac{2}{5} \times 180° = 72°\)（中心角）。
CDは直径なので、\(\angle BED\) は弧BDに対する円周角。弧BD \(= 180° - 72° = 108°\)…ではなく、対頂の関係から弧の差を使い、\(\angle BED = 36°\) となります。
円周角は中心角の半分という関係を使って計算します。

答え 記述問題（自分で書いてから、下の解説と見くらべましょう）

\(\angle BAD\) の二等分線を作図し、四角形の辺との交点がPです。
「2辺から等しい距離」→ 角の二等分線、「2点から等しい距離」→ 垂直二等分線。この対応を覚えておくと方針がすぐ決まります。
作図に使った弧は消すと減点になります。

自分で確かめるポイント

• 「2辺から等しい距離」→ 角の二等分線 と判断した
• ∠BAD（頂点Aの角）の二等分線を作図した
• その二等分線と四角形の辺との交点にPと書いた
• 作図に使った線（弧）を消していない

答え 3

BC = BD なので、平行移動でできた台形AEDCは△ABC 3つぶんの面積になります。
△ABC の面積を \(S\) とすると、台形AEDC \(= 3S\)。よって 3倍。
平行移動では形も大きさも変わらないことを使います。

答え 記述問題（自分で書いてから、下の解説と見くらべましょう）

四角形AGHC: 上底 \(ax\)、下底 \(ax + a\)、高さ \(b\) の台形なので
\(\{ax + (ax+a)\} \times b \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}ab(2x+1)\)
四角形ABJK: 上底 \(bx\)、下底 \(bx + b\)、高さ \(a\) の台形なので
\(\{bx + (bx+b)\} \times a \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}ab(2x+1)\)
どちらも同じ式になるので、面積は等しい。
証明は2つを別々に計算して、同じ式になったと示すのが書きやすい形です。

自分で確かめるポイント

• 四角形AGHCを台形とみて、上底・下底・高さを a, b, x で表した
• 四角形ABJKも同様に表した
• どちらも 1/2 ab(2x+1) になることを示した
• 最後に「面積は等しい」と結論づけた

答え ① エ　② ク

\(y = \dfrac{1}{4}x^2\) は下に凸の放物線で、頂点は原点。
変域 \(-3 \leqq a \leqq 1\) には \(a = 0\) が含まれるので、\(b\) の最小値は \(0\)（①エ）。
最大値は原点から最も遠い \(a = -3\) のときで \(\dfrac{9}{4}\)（②ク）。
端の値だけを見て \(\dfrac{1}{4} \leqq b \leqq \dfrac{9}{4}\) としないよう注意しましょう。

答え ③ ウ　④ ア

\(A(-6, 9)\)（\(\frac{1}{4}\times36 = 9\)）、\(P(2, 1)\) なので \(Q(2, 5)\)。
傾き \(= \dfrac{5-9}{2-(-6)} = \dfrac{-4}{8} = -\dfrac{1}{2}\)（③ウ）。
\(9 = -\dfrac{1}{2}\times(-6) + c\) より \(c = 6\)（④ア）。

答え 8

\(P\left(t, \dfrac{t^2}{4}\right)\)、\(Q\left(t, \dfrac{t^2}{4}+4\right)\)。
Qを通る傾き \(\dfrac{1}{2}\) の直線の \(y\) 切片が R なので、\(R\left(0, \dfrac{t^2}{4}+4-\dfrac{t}{2}\right)\)。
2つの三角形の面積を \(t\) で表して \(\triangle AOR = 3\triangle PQR\) を解くと \(t = 8\) が得られます。

答え イ　\((135-a)\) 度

AB = BM、\(\angle ABM = 90°\) より △ABM は直角二等辺三角形なので \(\angle AMB = 45°\)。
AD ∥ BC より錯角で \(\angle MAQ\) などが決まり、AM ∥ QP の平行関係とあわせて計算すると
\(\angle MQP =\) \((135 - a)°\) となります。
平行線の錯角・同位角と直角二等辺三角形の45°が手がかりです。

答え 記述問題（自分で書いてから、下の解説と見くらべましょう）

①の証明
△BMRと△DQTにおいて、BM ∥ QD より平行線の錯角は等しいから \(\angle MBR = \angle QDT\) …(1)
対頂角は等しいから \(\angle BRM = \angle DRA\) …(2)
AM ∥ QP より平行線の同位角は等しいから \(\angle DRA = \angle DTQ\) …(3)
(2)(3)より \(\angle BRM = \angle DTQ\) …(4)
(1)(4)より2組の角がそれぞれ等しいから \(\triangle BMR \backsim \triangle DQT\)

②の答え: ST : BD = 5 : 36（え = 5、おか = 36）

自分で確かめるポイント

• ① BM ∥ QD から平行線の錯角が等しいことを示した
• ① 対頂角が等しいこと、AM ∥ QP から同位角が等しいことを使った
• ① 「2組の角がそれぞれ等しい」と結論づけた
• ② ST : BD = 5 : 36 と答えた

答え 90

AC = BC の二等辺三角形ABCで、Mは底辺ABの中点なので CM ⊥ AB。
また AD ⊥ 底面より、柱の側面でも垂直が保たれ、MP ⊥ AB となります。
よって \(\angle BMP =\) \(90°\)。

答え 48

四角形ADEBは AB = 6cm、AD = 6cm の長方形なので、面積は \(6 \times 6 = 36\) cm²。
高さは点Pから面ADEBまでの距離で、これは△ABCの頂点Cから辺ABまでの距離に等しく、\(\sqrt{5^2-3^2} = 4\) cm。
体積 \(= \dfrac{1}{3} \times 36 \times 4 =\) \(48\) cm³。
Pが辺CF上のどこにあっても高さは変わらないのがポイントです。