平方根 練習問題¶
平方根の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 答えは、根号の中をできるだけ小さい自然数にし、分母に根号がない形で答えよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
平方根の意味と大小¶
確認する解説ページ：平方根の基本
(1) 次の数の平方根を求めよ。
解答
(a) \(\pm 7\) (b) \(\pm 0.6\) (c) \(\pm\sqrt{5}\) (d) \(\pm\dfrac{3}{4}\)
(2) 次の数を、根号を使わずに表せ。
解答
(a) \(8\) (b) \(-0.2\) (c) \(\sqrt{25} = 5\)（\(-5\) ではない）
(3) 次の2つの数の大小を、不等号を使って表せ。
(a) \(\sqrt{15}\) と \(4\) (b) \(-\sqrt{7}\) と \(-3\)
解答
(a) \(4 = \sqrt{16}\) なので \(\sqrt{15} < 4\)
(b) \(3 = \sqrt{9}\) で \(\sqrt{7} < \sqrt{9}\)。負の数は絶対値が大きいほど小さいので \(-\sqrt{7} > -3\)
(4) \(3 < \sqrt{a} < 4\) を満たす自然数 \(a\) をすべて求めよ。
解答
2乗して \(9 < a < 16\)。\(a = 10, 11, 12, 13, 14, 15\)
(5) 次の数のうち、有理数と無理数に分けよ。
解答
有理数：\(\sqrt{16} = 4\)、\(0.3\)、\(\sqrt{\dfrac{2}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\)
無理数：\(-\sqrt{5}\)、\(\pi\)
根号の変形と有理化¶
確認する解説ページ：平方根の基本
(6) 次の数を \(a\sqrt{b}\) の形にせよ。
(a) \(\sqrt{48}\) (b) \(\sqrt{108}\)
解答
(a) \(\sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\) (b) \(\sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\)
(7) 次の数を \(\sqrt{a}\) の形にせよ。
(a) \(3\sqrt{5}\) (b) \(2\sqrt{7}\)
解答
(a) \(\sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45}\) (b) \(\sqrt{4 \times 7} = \sqrt{28}\)
(8) 次の数の分母を有理化せよ。
(a) \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) (b) \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)
解答
(a) \(\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) (b) \(\dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{5} = \dfrac{\sqrt{10}}{5}\)
乗法・除法¶
確認する解説ページ：平方根の乗法・除法
(9) \(\sqrt{6} \times \sqrt{15}\)
解答
\(\sqrt{90} = 3\sqrt{10}\)
(10) \(2\sqrt{3} \times 5\sqrt{6}\)
解答
\(10\sqrt{18} = 10 \times 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}\)
(11) \(\sqrt{56} \div \sqrt{7}\)
解答
\(\sqrt{56 \div 7} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
加法・減法¶
確認する解説ページ：平方根の加法・減法
(12) \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2}\)
解答
\((5 + 3 - 1)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\)
(13) \(\sqrt{27} + \sqrt{12}\)
解答
\(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
(14) \(\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}\)
解答
\(5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
標準¶
いろいろな計算¶
(15) \(\sqrt{12} + \dfrac{9}{\sqrt{3}}\)
解答
\(\dfrac{9}{\sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\)。\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
(16) \(\sqrt{6} \div \sqrt{2} \times \sqrt{12}\)
解答
\(\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 6\)
(17) \(\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{12})\)
解答
\(\sqrt{18} - \sqrt{36} = 3\sqrt{2} - 6\)
(18) \((\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 3)\)
解答
\(5 - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 6 = -1 - \sqrt{5}\)
(19) \((\sqrt{7} - \sqrt{2})^2\)
解答
\(7 - 2\sqrt{14} + 2 = 9 - 2\sqrt{14}\)
(20) \((2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)\)
解答
\((2\sqrt{3})^2 - 1 = 12 - 1 = 11\)
(21) \(\dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\) の分母を有理化せよ。
解答
分母と分子に \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\) をかける。
\(\dfrac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}\)
平方根の利用¶
確認する解説ページ：平方根の利用
(22) \(\sqrt{19}\) の整数部分と小数部分を求めよ。
解答
\(\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}\) より \(4 < \sqrt{19} < 5\)
整数部分 \(4\)、小数部分 \(\sqrt{19} - 4\)
(23) \(x = \sqrt{3} + 1\) のとき、\(x^2 - 2x\) の値を求めよ。
解答
\(x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1\) と変形する。\(x - 1 = \sqrt{3}\) なので \(3 - 1 = 2\)
(24) \(x = \sqrt{6} + \sqrt{3}\)、\(y = \sqrt{6} - \sqrt{3}\) のとき、\(xy\) と \(x^2 - y^2\) の値を求めよ。
解答
\(xy = 6 - 3 = 3\)
\(x + y = 2\sqrt{6}\)、\(x - y = 2\sqrt{3}\)。\(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 4\sqrt{18} = 12\sqrt{2}\)
(25) \(\sqrt{2} = 1.414\) として、次の値を求めよ。
(a) \(\sqrt{200}\) (b) \(\sqrt{0.02}\)
解答
(a) \(\sqrt{200} = 10\sqrt{2} = 14.14\)
(b) \(\sqrt{0.02} = \sqrt{\dfrac{2}{100}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} = 0.1414\)
(26) \(\sqrt{28n}\) が自然数になるような、もっとも小さい自然数 \(n\) を求めよ。
解答
\(28n = 2^2 \times 7 \times n\)。根号の中が平方数になればよいので \(n = 7\)（\(\sqrt{196} = 14\)）
発展¶
(27) \(\sqrt{\dfrac{54}{n}}\) が整数になるような自然数 \(n\) をすべて求めよ。
解答
\(54 = 2 \times 3^3\)。\(\dfrac{54}{n}\) が平方数になればよい。\(54\) の約数のうち平方数は \(1\) と \(9\)
\(\dfrac{54}{n} = 9\) より \(n = 6\)、\(\dfrac{54}{n} = 1\) より \(n = 54\)
(28) \(5 < \sqrt{2n} < 6\) を満たす自然数 \(n\) は何個あるか。
解答
2乗して \(25 < 2n < 36\)。\(12.5 < n < 18\) なので \(n = 13, 14, 15, 16, 17\) の \(5\) 個
(29) \(x = \sqrt{3} + 1\) のとき、\(x^2 - 2x - 3\) の値を求めよ。
解答
\(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = (\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = 3 - 4 = -1\)
(30) \(\sqrt{7}\) の小数部分を \(a\) とするとき、\(a^2 + 4a\) の値を求めよ。
解答
\(2 < \sqrt{7} < 3\) より \(a = \sqrt{7} - 2\)
\(a^2 + 4a = (a + 2)^2 - 4 = 7 - 4 = 3\)
(31) 面積が \(18\) cm² と \(32\) cm² の2つの正方形がある。2つの正方形の1辺の長さの和を求めよ。
解答
1辺はそれぞれ \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)、\(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)（cm）
和は \(7\sqrt{2}\) cm