平方根の利用¶

計算ができるようになったら、展開公式との組み合わせや整数部分の取り出しに進みます。入試でよく出る形です。

展開公式を使う計算¶

\(\sqrt{\ }\) を含む式でも、展開公式はそのまま使えます。

使う公式

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

\(\sqrt{2}\) などを \(a\) や \(b\) とみて当てはめます。

例題1¶

\((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\) を計算しなさい。

解答

\(a = \sqrt{3}\)、\(b = \sqrt{2}\) として公式を使います。

\[ = (\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \]

\[ = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6} \]

\((\sqrt{a})^2 = a\) がポイント

2乗すると根号が外れます。ここで数がすっきりします。

例題2¶

\((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\) を計算しなさい。

解答

和と差の積なので \(a^2 - b^2\) の形です。

\[ = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \]

根号が完全に消えました。これが和と差の積の特徴です。

例題3¶

\((2\sqrt{3} - 1)^2\) を計算しなさい。

解答

\(a = 2\sqrt{3}\)、\(b = 1\) として

\[ = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times 1 + 1^2 \]

\((2\sqrt{3})^2\) は \(2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12\) です。

\[ = 12 - 4\sqrt{3} + 1 = 13 - 4\sqrt{3} \]

係数も2乗する

\((2\sqrt{3})^2 = 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 12\) です。 \(2 \times 3 = 6\) としないよう注意してください。

分母に2項ある有理化¶

分母が \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) のときは、和と差の積を利用します。

分母が2項のときの有理化

分母が \(a + b\) なら \(a - b\) を、\(a - b\) なら \(a + b\) を分母分子にかけます。 \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) で根号が消えます。

例題4¶

\(\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1}\) の分母を有理化しなさい。

解答

分母の \(\sqrt{3} + 1\) に対して、\(\sqrt{3} - 1\) を分母分子にかけます。

\[ \frac{1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \]

\[ = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \]

例題5¶

\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\) の分母を有理化しなさい。

解答

\(\sqrt{5} + \sqrt{3}\) をかけます。

\[ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{5 - 3} \]

\[ = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2} \]

整数部分と小数部分¶

\(\sqrt{2} = 1.41\ldots\) のように、無理数は「整数部分」と「小数部分」に分けられます。

整数部分の求め方

\(\sqrt{a}\) を、前後の整数の2乗ではさみます。

\[ 1^2 < 2 < 2^2 \quad\Rightarrow\quad 1 < \sqrt{2} < 2 \]

よって \(\sqrt{2}\) の整数部分は \(1\)。

\[ \boxed{\text{小数部分} = \text{もとの数} - \text{整数部分}} \]

例題6¶

\(\sqrt{7}\) の整数部分 \(a\) と小数部分 \(b\) を求めなさい。

解答

\[ 2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2 \]

なので \(2 < \sqrt{7} < 3\)。整数部分は

\[ a = 2 \]

小数部分は、もとの数から整数部分を引いて

\[ b = \sqrt{7} - 2 \]

小数部分は小数で書かない

\(b = 0.645\ldots\) と書くのは不正解です。 \(\sqrt{7} - 2\) のままが正確な答えです。

例題7¶

\(\sqrt{10}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とするとき、\(b^2 + 4b\) の値を求めなさい。

解答

\(3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2\) なので \(a = 3\)、\(b = \sqrt{10} - 3\)。

\[ b^2 + 4b = b(b + 4) \]

\[ = (\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} - 3 + 4) = (\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 1) \]

展開して

\[ = 10 + \sqrt{10} - 3\sqrt{10} - 3 = 7 - 2\sqrt{10} \]

代入する前に式を整理する

\(b^2\) を先に計算するより、因数分解してから代入するほうが楽です。式を簡単にしてから代入するのは、因数分解でも使った考え方です。

式の値を求める¶

\(x\) に根号を含む数を代入する問題では、代入の前に式を整理します。

例題8¶

\(x = \sqrt{5} + 2\) のとき、\(x^2 - 4x + 4\) の値を求めなさい。

解答

まず因数分解します。

\[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \]

\(x - 2 = \sqrt{5}\) なので

\[ = (\sqrt{5})^2 = 5 \]

そのまま代入すると大変

\((\sqrt{5}+2)^2 - 4(\sqrt{5}+2) + 4\) を展開しても解けますが、因数分解してからのほうが圧倒的に速く、計算ミスも減ります。

例題9¶

\(x = \sqrt{3} + 1\)、\(y = \sqrt{3} - 1\) のとき、次の値を求めなさい。

\(x + y\)
\(xy\)
\(x^2 + y^2\)

解答

(1)

\[ (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3} \]

(2) 和と差の積なので

\[ (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 - 1 = 2 \]

(3) \(x^2 + y^2\) は、\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) を変形して求めます。

\[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \]

\[ = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2 = 12 - 4 = 8 \]

\(x^2+y^2\) は和と積から求まる

\[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \]

この変形は入試で頻出です。\(x\) と \(y\) を個別に2乗するより速く解けます。

近似値¶

\(\sqrt{2} \approx 1.414\)、\(\sqrt{3} \approx 1.732\) は覚えておくと便利です。

語呂合わせ

\(\sqrt{2} = 1.41421356\ldots\) … 「ひとよひとよにひとみごろ」
\(\sqrt{3} = 1.7320508\ldots\) … 「ひとなみにおごれや」
\(\sqrt{5} = 2.2360679\ldots\) … 「ふじさんろくおうむなく」

例題10¶

\(\sqrt{2} = 1.414\) として、\(\sqrt{200}\) の近似値を求めなさい。

解答

\[ \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \]

\[ = 10 \times 1.414 = 14.14 \]

\(\sqrt{200} = 100\sqrt{2}\) ではない

根号の外に出るときは \(\sqrt{100} = 10\) です。 \(100\) がそのまま出るのではありません。

練習問題¶

問1¶

次を計算しなさい。

\((\sqrt{5} + 1)^2\)
\((\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})\)
\((3 - \sqrt{2})^2\)

解答

(1) \(5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\)

(2) \(7 - 2 = 5\)

(3) \(9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}\)

問2¶

次の分母を有理化しなさい。

\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} - 2}\)

解答

(1) \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) をかけて

\[ \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}-\sqrt{3} \]

(2) \(\sqrt{7} + 2\) をかけて

\[ \frac{3(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{3(\sqrt{7}+2)}{3} = \sqrt{7}+2 \]

問3¶

\(\sqrt{13}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とするとき、\(a\) と \(b\) を答えなさい。

解答

\(3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2\) なので

\[ a = 3, \qquad b = \sqrt{13} - 3 \]

問4¶

\(x = \sqrt{2} + 1\) のとき、\(x^2 - 2x + 1\) の値を求めなさい。

解答

\[ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \]

\(x - 1 = \sqrt{2}\) なので

\[ = (\sqrt{2})^2 = 2 \]

問5（応用）¶

\(x = \sqrt{5} + \sqrt{2}\)、\(y = \sqrt{5} - \sqrt{2}\) のとき、\(x^2 + y^2\) と \(x^2 - y^2\) を求めなさい。

解答

まず和と積を求めます。

\[ x + y = 2\sqrt{5}, \qquad x - y = 2\sqrt{2}, \qquad xy = 5 - 2 = 3 \]

\(x^2 + y^2\)

\[ = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{5})^2 - 2 \times 3 = 20 - 6 = 14 \]

\(x^2 - y^2\)

\[ = (x+y)(x-y) = 2\sqrt{5} \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{10} \]

この単元のまとめ¶

展開公式は根号を含む式にもそのまま使える。\((\sqrt{a})^2 = a\) で根号が外れる
和と差の積は根号が完全に消える
分母が2項なら、符号を変えたものをかけて有理化する
整数部分は前後の整数の2乗ではさむ。小数部分は「もとの数 − 整数部分」で、根号のまま書く
代入の前に因数分解や変形で式を簡単にする
\(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\) は頻出

次は二次方程式の基本。平方根の考え方が解法の1つになります。

入試の総合演習¶

模試対策：数学の要点と問題 — この単元を含め、提示範囲全体を練習できます。

もっと練習しよう

この分野の問題をもっと解きたいときは、平方根練習問題に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。