展開 練習問題¶
展開の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
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基本¶
式の展開と乗法公式¶
確認する解説ページ：展開公式
(1) \((2x + 1)(x + 3)\)
解答
\(2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3\)
(2) \((x + 2)(y - 4)\)
解答
\(xy - 4x + 2y - 8\)
(3) \((x + 4)(x + 6)\)
解答
公式①。和 \(10\)、積 \(24\)。\(x^2 + 10x + 24\)
(4) \((x - 3)(x + 8)\)
解答
和 \(5\)、積 \(-24\)。\(x^2 + 5x - 24\)
(5) \((a - 5)(a - 2)\)
解答
和 \(-7\)、積 \(10\)。\(a^2 - 7a + 10\)
(6) \((5 + x)(x - 1)\)
解答
\((x + 5)(x - 1) = x^2 + 4x - 5\)
(7) \((x + 11)^2\)
解答
公式②。\(x^2 + 22x + 121\)
(8) \((y - 6)^2\)
解答
公式③。\(y^2 - 12y + 36\)
(9) \(\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2\)
解答
\(x^2 - 2 \times \dfrac{1}{2} \times x + \dfrac{1}{4} = x^2 - x + \dfrac{1}{4}\)
(10) \((x + 9)(x - 9)\)
解答
公式④。\(x^2 - 81\)
(11) \((3x + 1)(3x - 1)\)
解答
\((3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1\)
(12) \((3x + 2)^2\)
解答
\((3x)^2 + 2 \times 2 \times 3x + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4\)
(13) \((4a - 1)^2\)
解答
\(16a^2 - 8a + 1\)
(14) \((a + 3b)(a - 3b)\)
解答
\(a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2\)
(15) \((x - 2y)^2\)
解答
\(x^2 - 4xy + 4y^2\)
標準¶
2つの文字・係数のある展開¶
確認する解説ページ：展開公式
(16) \((3a + 2b)^2\)
解答
\(9a^2 + 12ab + 4b^2\)
(17) \((x + 2y)(x - 5y)\)
解答
\(y\) をふくむ項を数のように見て、和 \(-3y\)、積 \(-10y^2\)。\(x^2 - 3xy - 10y^2\)
いろいろな式の展開¶
確認する解説ページ：いろいろな式の展開
(18) \((x - y + 4)(x - y - 4)\)
解答
\(x - y = M\) とおくと \((M + 4)(M - 4) = M^2 - 16\)
\(= (x - y)^2 - 16 = x^2 - 2xy + y^2 - 16\)
(19) \((a + b - 3)^2\)
解答
\(a + b = M\) とおくと \((M - 3)^2 = M^2 - 6M + 9\)
\(= a^2 + 2ab + b^2 - 6a - 6b + 9\)
(20) \((x + 3)^2 - (x + 2)(x - 2)\)
解答
\(x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 4) = 6x + 13\)
(21) \((2x - 1)^2 - 4x(x - 1)\)
解答
\(4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 4x = 1\)
(22) \((x - 4)(x + 2) - (x - 3)^2\)
解答
\(x^2 - 2x - 8 - (x^2 - 6x + 9) = 4x - 17\)
(23) \((x^2 + 3)(x^2 - 3)\)
解答
\((x^2)^2 - 9 = x^4 - 9\)
(24) \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)\)
解答
前の2つから \((x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1\)
計算の工夫¶
確認する解説ページ：いろいろな式の展開
(25) 乗法公式を使って、次の計算をせよ。
(a) \(102^2\) (b) \(49 \times 51\) (c) \(998^2\)
解答
(a) \((100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404\)
(b) \((50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499\)
(c) \((1000 - 2)^2 = 1000000 - 4000 + 4 = 996004\)
発展¶
(26) \(x + y = 5\)、\(xy = 3\) のとき、\(x^2 + y^2\) の値を求めよ。
解答
\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) より \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 25 - 6 = 19\)
(27) \(x - y = 4\)、\(xy = 2\) のとき、\(x^2 + y^2\) と \((x + y)^2\) の値を求めよ。
解答
\(x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 16 + 4 = 20\)
\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 20 + 4 = 24\)
(28) \(x = 2.5\) のとき、\((x + 3)^2 - (x - 3)^2\) の値を求めよ。
解答
先に式を簡単にする。\((x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x\)
\(12 \times 2.5 = 30\)
(29) \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)\) を展開せよ。
解答
\((x + 1)(x + 4)\) と \((x + 2)(x + 3)\) を組にすると、\((x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)\)
\(x^2 + 5x = M\) とおくと \((M + 4)(M + 6) = M^2 + 10M + 24\)
\(= (x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24\)
(30) 連続する2つの奇数の積に \(1\) をたすと、ある偶数の2乗になることを説明せよ。
解答
\(n\) を整数として、連続する2つの奇数を \(2n - 1\)、\(2n + 1\) と表す。
\((2n - 1)(2n + 1) + 1 = 4n^2 - 1 + 1 = 4n^2 = (2n)^2\)
\(2n\) は偶数なので、偶数の2乗になる。