円と相似 練習問題¶
相似な図形と円周角の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 図がない問題は、文章を読んで自分で図をかいてから考えよう。相似な三角形は、対応する頂点の順に書くこと。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
相似な図形と相似条件¶
確認する解説ページ：三角形の相似条件
(1) \(\triangle\)ABC（AB \(= 5\)、BC \(= 7\)、CA \(= 9\)）と \(\triangle\)DEF（DE \(= 10\)、EF \(= 14\)、FD \(= 18\)）は相似か。相似ならその条件を答えよ。
解答
\(5 : 10 = 7 : 14 = 9 : 18 = 1 : 2\)
3組の辺の比がすべて等しいので相似。\(\triangle\)ABC \(\backsim\) \(\triangle\)DEF
(2) \(\triangle\)ABC \(\backsim\) \(\triangle\)DEF で、相似比は \(2 : 3\) である。AB \(= 8\) cm、\(\angle\)A \(= 50°\) のとき、DE の長さと \(\angle\)D の大きさを求めよ。
解答
DE \(= 8 \times \dfrac{3}{2} = 12\)（cm）。対応する角は等しいので \(\angle\)D \(= 50°\)
(3) \(\triangle\)ABC \(\backsim\) \(\triangle\)PQR で、AB \(= 6\) cm、BC \(= 10\) cm、PQ \(= 9\) cm のとき、QR の長さを求めよ。
解答
相似比は \(6 : 9 = 2 : 3\)。QR \(= 10 \times \dfrac{3}{2} = 15\)（cm）
(4) \(\triangle\)ABC で AB \(= 4\)、AC \(= 6\)、\(\angle\)A \(= 40°\)、\(\triangle\)DEF で DE \(= 6\)、DF \(= 9\)、\(\angle\)D \(= 40°\) である。2つの三角形は相似か。相似ならその条件を答えよ。
解答
AB : DE \(= 4 : 6 = 2 : 3\)、AC : DF \(= 6 : 9 = 2 : 3\)、\(\angle\)A \(= \angle\)D
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので相似。
平行線と線分の比¶
確認する解説ページ：平行線と線分の比
(5) \(\triangle\)ABC で、辺 AB 上の点 D と辺 AC 上の点 E について DE \(\parallel\) BC である。AD \(= 6\)、DB \(= 4\)、AE \(= 9\) のとき、EC を求めよ。
解答
AD : DB \(=\) AE : EC より \(6 : 4 = 9 :\) EC。EC \(= 6\)
(6) \(\triangle\)ABC で、辺 AB 上の点 D と辺 AC 上の点 E について DE \(\parallel\) BC である。AD \(= 5\)、AB \(= 8\)、BC \(= 12\) のとき、DE を求めよ。
解答
AD : AB \(=\) DE : BC より \(5 : 8 =\) DE \(: 12\)。DE \(= 7.5\)
(7) 3本の平行線が2本の直線と交わっている。一方の直線上で AB \(= 6\)、BC \(= 9\)、もう一方の直線上で対応する DE \(= 4\) のとき、EF を求めよ。
解答
AB : BC \(=\) DE : EF より \(6 : 9 = 4 :\) EF。EF \(= 6\)
中点連結定理¶
確認する解説ページ：中点連結定理
(8) \(\triangle\)ABC で、辺 AB、AC の中点をそれぞれ M、N とする。BC \(= 18\) cm のとき、MN の長さを求めよ。また、MN と BC の位置関係を答えよ。
解答
MN \(= \dfrac{1}{2}\)BC \(= 9\) cm。MN \(\parallel\) BC
(9) AD \(\parallel\) BC の台形 ABCD で、辺 AB、DC の中点をそれぞれ M、N とする。AD \(= 5\) cm、BC \(= 13\) cm のとき、MN の長さを求めよ。
解答
MN \(= \dfrac{5 + 13}{2} = 9\)（cm）
面積の比と体積の比¶
確認する解説ページ：面積の比と体積の比
(10) 相似比が \(4 : 7\) の2つの図形の面積比を求めよ。
解答
\(4^2 : 7^2 = 16 : 49\)
(11) 相似比が \(3 : 4\) の2つの立体の表面積の比と体積比を求めよ。
解答
表面積の比 \(9 : 16\)、体積比 \(27 : 64\)
(12) 面積比が \(9 : 25\) の2つの相似な図形の相似比を求めよ。
解答
\(3 : 5\)
円周角と中心角¶
確認する解説ページ：円周角と中心角
(13) 円 O で、弧 AB に対する中心角 \(\angle\)AOB が \(140°\) のとき、弧 AB に対する円周角 \(\angle\)APB を求めよ（P は弧 AB をふくまない側の円周上の点）。
解答
円周角は中心角の半分。\(70°\)
(14) 円 O で、弧 AB に対する円周角 \(\angle\)APB が \(34°\) のとき、中心角 \(\angle\)AOB を求めよ。
解答
\(34° \times 2 = 68°\)
(15) AB を直径とする円の周上に点 P がある。\(\angle\)PAB \(= 27°\) のとき、\(\angle\)ABP を求めよ。
解答
直径に対する円周角は \(90°\) なので \(\angle\)APB \(= 90°\)。\(\angle\)ABP \(= 180° - 90° - 27° = 63°\)
(16) 円周上に4点 A、B、C、D があり、C と D は弦 AB について同じ側にある。\(\angle\)ACB \(= 48°\) のとき、\(\angle\)ADB を求めよ。
解答
同じ弧 AB に対する円周角は等しいので \(48°\)
(17) 同じ円で、弧 AB と弧 CD の長さの比が \(2 : 3\) である。弧 AB に対する円周角が \(24°\) のとき、弧 CD に対する円周角を求めよ。
解答
円周角の大きさは弧の長さに比例する。\(24° \times \dfrac{3}{2} = 36°\)
標準¶
相似の証明と利用¶
確認する解説ページ：三角形の相似の証明の基本
(18) \(\triangle\)ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、\(\angle\)ADE \(= \angle\)ACB である。\(\triangle\)ADE \(\backsim\) \(\triangle\)ACB を証明せよ。
解答
\(\triangle\)ADE と \(\triangle\)ACB で、
仮定より \(\angle\)ADE \(= \angle\)ACB …①
共通な角なので \(\angle\)DAE \(= \angle\)CAB …②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ADE \(\backsim\) \(\triangle\)ACB
(19) \(\angle\)BAC \(= 90°\) の直角三角形 ABC で、A から BC に垂線 AH を引く。AB \(= 6\) cm、BC \(= 10\) cm のとき、BH の長さを求めよ。
解答
\(\triangle\)ABH と \(\triangle\)CBA で、\(\angle\)AHB \(= \angle\)CAB \(= 90°\)、\(\angle\)B は共通なので \(\triangle\)ABH \(\backsim\) \(\triangle\)CBA
AB : CB \(=\) BH : BA より \(6 : 10 =\) BH \(: 6\)。BH \(= 3.6\)（cm）
(20) \(\triangle\)ABC で AB \(= 9\) cm、AC \(= 6\) cm、BC \(= 12\) cm である。辺 AB 上に AD \(= 4\) cm となる点 D をとる。\(\triangle\)ADC \(\backsim\) \(\triangle\)ACB を示し、DC の長さを求めよ。
解答
AD : AC \(= 4 : 6 = 2 : 3\)、AC : AB \(= 6 : 9 = 2 : 3\)、\(\angle\)A は共通
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ADC \(\backsim\) \(\triangle\)ACB
DC : CB \(= 2 : 3\) より DC \(= 12 \times \dfrac{2}{3} = 8\)（cm）
(21) \(\triangle\)ABC の辺 AB 上の点 D と辺 AC 上の点 E について DE \(\parallel\) BC、AD : DB \(= 2 : 3\) である。\(\triangle\)ADE の面積が \(8\) cm² のとき、\(\triangle\)ABC と四角形 DBCE の面積を求めよ。
解答
\(\triangle\)ADE \(\backsim\) \(\triangle\)ABC で、相似比は AD : AB \(= 2 : 5\)。面積比は \(4 : 25\)
\(\triangle\)ABC \(= 8 \times \dfrac{25}{4} = 50\)（cm²）。四角形 DBCE \(= 50 - 8 = 42\)（cm²）
(22) AD \(\parallel\) BC の台形 ABCD の対角線の交点を O とする。AD \(= 6\) cm、BC \(= 10\) cm のとき、AO : OC と、\(\triangle\)AOD と \(\triangle\)COB の面積比を求めよ。
解答
AD \(\parallel\) BC より \(\triangle\)AOD \(\backsim\) \(\triangle\)COB（錯角が等しい）。相似比は \(6 : 10 = 3 : 5\)
AO : OC \(= 3 : 5\)、面積比 \(9 : 25\)
(23) 四角形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点をそれぞれ P、Q、R、S とする。四角形 PQRS が平行四辺形であることを証明せよ。
解答
対角線 AC を引く。\(\triangle\)ABC で中点連結定理より PQ \(\parallel\) AC、PQ \(= \dfrac{1}{2}\)AC
\(\triangle\)ACD で同じように SR \(\parallel\) AC、SR \(= \dfrac{1}{2}\)AC
よって PQ \(\parallel\) SR、PQ \(=\) SR。1組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので、四角形 PQRS は平行四辺形
(24) 円錐を、底面に平行で高さのちょうど半分を通る平面で切り、上の小さい円錐と下の立体に分けた。もとの円錐の体積が \(96\) cm³ のとき、下の立体の体積を求めよ。
解答
上の円錐ともとの円錐は相似で、相似比 \(1 : 2\)、体積比 \(1 : 8\)
上の円錐 \(= 96 \times \dfrac{1}{8} = 12\)。下の立体 \(= 96 - 12 = 84\)（cm³）
円周角の利用¶
(25) 円周上に A、B、C、D がこの順に並び、弦 AC と BD の交点を P とする。\(\angle\)BAC \(= 35°\)、\(\angle\)ABD \(= 40°\) のとき、\(\angle\)BDC、\(\angle\)ACD、\(\angle\)APB を求めよ。
解答
弧 BC に対する円周角より \(\angle\)BDC \(= \angle\)BAC \(= 35°\)
弧 AD に対する円周角より \(\angle\)ACD \(= \angle\)ABD \(= 40°\)
\(\triangle\)ABP で \(\angle\)APB \(= 180° - 35° - 40° = 105°\)
(26) 線分 BC について同じ側に2点 A、D があり、\(\angle\)BAC \(= 52°\)、\(\angle\)BDC \(= 52°\) である。4点 A、B、C、D について、どんなことがいえるか。
解答
円周角の定理の逆より、4点 A、B、C、D は1つの円周上にある。
(27) 円の内部で弦 AB と CD が点 P で交わっている。PA \(= 3\)、PB \(= 8\)、PC \(= 4\) のとき、PD を求めよ。
解答
PA \(\times\) PB \(=\) PC \(\times\) PD より \(24 = 4 \times\) PD。PD \(= 6\)
(28) 円の外部の点 P から引いた2本の直線が、円とそれぞれ A、B と C、D で交わっている（PA \(<\) PB、PC \(<\) PD）。PA \(= 4\)、AB \(= 5\)、PC \(= 3\) のとき、CD を求めよ。
解答
PB \(= 9\)。PA \(\times\) PB \(=\) PC \(\times\) PD より \(36 = 3 \times\) PD、PD \(= 12\)
CD \(= 12 - 3 = 9\)
発展¶
(29) \(\triangle\)ABC の辺 AB 上に AD : DB \(= 1 : 2\) となる点 D、辺 AC 上に AE : EC \(= 3 : 1\) となる点 E をとる。\(\triangle\)ADE の面積は \(\triangle\)ABC の面積の何倍か。
解答
\(\triangle\)ADE と \(\triangle\)ABE は高さが共通なので \(\triangle\)ADE \(= \dfrac{1}{3}\triangle\)ABE
\(\triangle\)ABE と \(\triangle\)ABC は高さが共通なので \(\triangle\)ABE \(= \dfrac{3}{4}\triangle\)ABC
\(\triangle\)ADE \(= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}\triangle\)ABC \(= \dfrac{1}{4}\triangle\)ABC。\(\dfrac{1}{4}\) 倍
(30) AB を直径とする円の周上に点 C があり、C から AB に垂線 CH を引く。AH \(= 2\) cm、HB \(= 8\) cm のとき、CH の長さを求めよ。
解答
\(\angle\)ACB \(= 90°\)。\(\triangle\)ACH と \(\triangle\)CBH で、\(\angle\)AHC \(= \angle\)CHB \(= 90°\)、\(\angle\)ACH \(= 90° - \angle\)BCH \(= \angle\)CBH なので \(\triangle\)ACH \(\backsim\) \(\triangle\)CBH
AH : CH \(=\) CH : BH より CH\(^2 = 2 \times 8 = 16\)。CH \(= 4\)（cm）
(31) \(\triangle\)ABC の辺 AB の中点を M とし、M を通り BC に平行な直線と辺 AC の交点を N とする。N が AC の中点であることを説明せよ。
解答
MN \(\parallel\) BC なので、平行線と線分の比より AM : MB \(=\) AN : NC
AM : MB \(= 1 : 1\) なので AN : NC \(= 1 : 1\)。N は AC の中点である。
(32) 相似な2つの円柱 P、Q があり、P の底面の半径は \(3\) cm、Q の底面の半径は \(5\) cm である。P の体積が \(54\pi\) cm³ のとき、Q の体積と、P と Q の側面積の比を求めよ。
解答
相似比は \(3 : 5\)、体積比は \(27 : 125\)。Q \(= 54\pi \times \dfrac{125}{27} = 250\pi\)（cm³）
側面積の比は面積比なので \(9 : 25\)