二次関数のグラフ問題¶

グラフを読み取り・活用する問題です。

放物線を予想して描こう¶

\(y=ax^2\) のグラフを指やマウスで描き、正解と重ねてください。\(a\) を正・負に変えたり、\(0\) に近づけたりして、開く向きと広がりを観察しましょう。

下のグラフは \(y = ax^2\) のグラフである。グラフが点 \((3,\ -18)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。

解答

\(x = 3,\ y = -18\) を \(y = ax^2\) に代入する。

\[ -18 = a \times 3^2 = 9a \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

\(y = 2x^2\) について、\(x\) の変域が \(-1 \leq x \leq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

変域 \(-1 \leq x \leq 3\) に \(x = 0\) が含まれる。\(a = 2 > 0\) なので上に開き、最小値は頂点の \(y = 0\)。

\[ 0 \leq y \leq 18 \]

\(y = -x^2\) について、\(x\) の変域が \(1 \leq x \leq 4\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

変域 \(1 \leq x \leq 4\) に \(x = 0\) は含まれない。\(a = -1 < 0\) で変域が正の部分のみなので、\(x\) が大きいほど \(y\) は小さい。

\[ -16 \leq y \leq -1 \]

\(y = 2x^2\) について、\(x\) が \(1\) から \(3\) まで変化するときの変化の割合を求めよ。グラフ上の２点を結ぶ直線（割線）に注目しよう。

解答

\[ \text{変化の割合} = \frac{18 - 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8 \]

\(y = x^2\) と \(y = -x^2 + 8\) のグラフの交点の座標を求めよ。

解答

交点では \(x^2 = -x^2 + 8\) が成り立つ。

\[ 2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

答え：\((2,\ 4)\) と \((-2,\ 4)\)

もっと練習しよう

この分野の問題をもっと解きたいときは、二次関数練習問題に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。