二次方程式 練習問題¶
二次方程式の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 文章題では、求めた解が問題に合っているか（正の数か、範囲に入っているか）を必ず確かめよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
因数分解を使って解く¶
確認する解説ページ：二次方程式
(1) \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
解答
\((x - 2)(x - 5) = 0\)。\(x = 2,\ 5\)
(2) \(x^2 + 4x - 21 = 0\)
解答
\((x + 7)(x - 3) = 0\)。\(x = -7,\ 3\)
(3) \(x^2 - 9x = 0\)
解答
\(x(x - 9) = 0\)。\(x = 0,\ 9\)（両辺を \(x\) でわってはいけない）
(4) \(x^2 - 14x + 49 = 0\)
解答
\((x - 7)^2 = 0\)。\(x = 7\)
平方根の考えを使って解く¶
確認する解説ページ：二次方程式
(5) \(x^2 = 50\)
解答
\(x = \pm\sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}\)
(6) \(4x^2 - 9 = 0\)
解答
\(x^2 = \dfrac{9}{4}\) より \(x = \pm\dfrac{3}{2}\)
(7) \((x - 3)^2 = 7\)
解答
\(x - 3 = \pm\sqrt{7}\) より \(x = 3 \pm \sqrt{7}\)
(8) \((x + 2)^2 = 16\)
解答
\(x + 2 = \pm 4\) より \(x = 2,\ -6\)
解の公式を使って解く¶
確認する解説ページ：二次方程式
(9) \(x^2 + 5x + 3 = 0\)
解答
\(x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}\)
(10) \(2x^2 - 3x - 1 = 0\)
解答
\(x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{4}\)
(11) \(3x^2 + 2x - 1 = 0\)
解答
\(x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \dfrac{-2 \pm 4}{6}\)。\(x = \dfrac{1}{3},\ -1\)
(12) \(x^2 + 8x + 5 = 0\)
解答
\(x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2} = \dfrac{-8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -4 \pm \sqrt{11}\)
(13) 二次方程式 \(x^2 + ax - 12 = 0\) の1つの解が \(3\) のとき、\(a\) の値ともう1つの解を求めよ。
解答
\(x = 3\) を代入して \(9 + 3a - 12 = 0\)、\(a = 1\)
\(x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) = 0\) より、もう1つの解は \(x = -4\)
標準¶
整理してから解く¶
確認する解説ページ：二次方程式
(14) \(x(x - 4) = 12\)
解答
\(x^2 - 4x - 12 = 0\)、\((x - 6)(x + 2) = 0\)。\(x = 6,\ -2\)
(15) \((x + 1)(x - 3) = 2x - 3\)
解答
\(x^2 - 2x - 3 = 2x - 3\)、\(x^2 - 4x = 0\)、\(x(x - 4) = 0\)。\(x = 0,\ 4\)
(16) \(2x^2 - 8x - 10 = 0\)
解答
両辺を \(2\) でわって \(x^2 - 4x - 5 = 0\)、\((x - 5)(x + 1) = 0\)。\(x = 5,\ -1\)
(17) \(\dfrac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0\)
解答
両辺を \(2\) 倍して \(x^2 - 2x - 8 = 0\)、\((x - 4)(x + 2) = 0\)。\(x = 4,\ -2\)
(18) \((x - 2)^2 - 3(x - 2) - 10 = 0\)
解答
\(x - 2 = M\) とおくと \(M^2 - 3M - 10 = 0\)、\((M - 5)(M + 2) = 0\)
\(M = 5\) のとき \(x = 7\)、\(M = -2\) のとき \(x = 0\)。\(x = 7,\ 0\)
数や図形の文章題¶
確認する解説ページ：二次方程式の利用（文章題）
(19) ある正の数を2乗すると、その数の \(3\) 倍より \(28\) 大きくなる。この数を求めよ。
解答
\(x^2 = 3x + 28\)、\(x^2 - 3x - 28 = 0\)、\((x - 7)(x + 4) = 0\)
\(x > 0\) なので \(x = 7\)
(20) 連続する2つの正の整数の積が \(132\) のとき、2つの整数を求めよ。
解答
小さい方を \(n\) とすると \(n(n + 1) = 132\)、\(n^2 + n - 132 = 0\)、\((n + 12)(n - 11) = 0\)
\(n > 0\) なので \(n = 11\)。2つの整数は \(11\) と \(12\)
(21) 連続する3つの正の整数がある。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は、まん中の数の \(5\) 倍より \(23\) 大きい。3つの整数を求めよ。
解答
まん中の数を \(n\) とすると \((n - 1)(n + 1) = 5n + 23\)
\(n^2 - 5n - 24 = 0\)、\((n - 8)(n + 3) = 0\)。\(n > 0\) なので \(n = 8\)
3つの整数は \(7,\ 8,\ 9\)
(22) 縦が横より \(3\) cm 長い長方形があり、面積は \(54\) cm² である。縦と横の長さを求めよ。
解答
横を \(x\) cm とすると \(x(x + 3) = 54\)、\(x^2 + 3x - 54 = 0\)、\((x + 9)(x - 6) = 0\)
\(x > 0\) なので \(x = 6\)。横 \(6\) cm、縦 \(9\) cm
(23) ある正方形の縦を \(2\) cm 長くし、横を \(3\) cm 短くした長方形の面積は \(36\) cm² だった。もとの正方形の1辺の長さを求めよ。
解答
1辺を \(x\) cm とすると \((x + 2)(x - 3) = 36\)、\(x^2 - x - 42 = 0\)、\((x - 7)(x + 6) = 0\)
\(x > 3\) なので \(x = 7\)。\(7\) cm
いろいろな文章題¶
確認する解説ページ：二次方程式の応用問題
(24) 縦 \(20\) m、横 \(30\) m の長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道を1本ずつ通し、残りを畑にしたら、畑の面積は \(504\) m² になった。道の幅を求めよ。
解答
道の幅を \(x\) m とする。道を端に寄せて考えると、畑は縦 \(20 - x\)、横 \(30 - x\) の長方形。
\((20 - x)(30 - x) = 504\)、\(x^2 - 50x + 96 = 0\)、\((x - 2)(x - 48) = 0\)
\(0 < x < 20\) なので \(x = 2\)。\(2\) m
(25) 正方形の紙の四すみから、1辺 \(3\) cm の正方形を切り取り、ふたのない箱をつくったら、容積が \(300\) cm³ になった。もとの紙の1辺の長さを求めよ。
解答
もとの1辺を \(x\) cm とすると、箱の底面は1辺 \(x - 6\) cm、高さ \(3\) cm
\(3(x - 6)^2 = 300\)、\((x - 6)^2 = 100\)、\(x - 6 = \pm 10\)
\(x > 6\) なので \(x = 16\)。\(16\) cm
(26) \(\angle\)B \(= 90°\)、AB \(=\) BC \(= 10\) cm の直角三角形 ABC がある。点 P は B から A へ、点 Q は B から C へ、同時に出発してどちらも毎秒 \(1\) cm で進む。\(\triangle\)PBQ の面積が \(18\) cm² になるのは何秒後か。
解答
\(x\) 秒後、BP \(=\) BQ \(= x\) cm。\(\dfrac{1}{2}x^2 = 18\)、\(x^2 = 36\)
\(0 < x \leqq 10\) なので \(x = 6\)。\(6\) 秒後
発展¶
(27) 二次方程式 \(x^2 + ax + b = 0\) の解が \(-2\) と \(5\) のとき、\(a\)、\(b\) の値を求めよ。
解答
解が \(-2\) と \(5\) の二次方程式は \((x + 2)(x - 5) = 0\)、つまり \(x^2 - 3x - 10 = 0\)
\(a = -3,\ b = -10\)
(28) 二次方程式 \(x^2 - 2x + a = 0\) の解が1つだけになるとき、\(a\) の値とその解を求めよ。
解答
\((x - 1)^2 = 0\) の形になればよい。\((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\) なので \(a = 1\)、解は \(x = 1\)
(29) 定価 \(1000\) 円の品物を \(x\%\) 値上げし、その後、値上げした値段から \(x\%\) 値下げしたら \(960\) 円になった。\(x\) の値を求めよ。
解答
\(1000\left(1 + \dfrac{x}{100}\right)\left(1 - \dfrac{x}{100}\right) = 960\)
\(1 - \dfrac{x^2}{10000} = 0.96\)、\(x^2 = 400\)。\(x > 0\) なので \(x = 20\)
(30) 1辺 \(12\) cm の正方形 ABCD がある。点 P は A を出発して辺 AB 上を毎秒 \(1\) cm で B まで、点 Q は P と同時に B を出発して辺 BC 上を毎秒 \(2\) cm で C まで動く。\(\triangle\)PBQ の面積が \(20\) cm² になるのは何秒後か（\(0 < x \leqq 6\) で考える）。
解答
\(x\) 秒後、PB \(= 12 - x\)、BQ \(= 2x\)
\(\dfrac{1}{2}(12 - x) \times 2x = 20\)、\(x^2 - 12x + 20 = 0\)、\((x - 2)(x - 10) = 0\)
\(0 < x \leqq 6\) なので \(x = 2\)。\(2\) 秒後
(31) 二次方程式 \(x^2 - 8x + k = 0\) の2つの解の差が \(2\) のとき、\(k\) の値と2つの解を求めよ。
解答
小さい方の解を \(m\) とすると、2つの解は \(m\) と \(m + 2\)。\(x^2 - 8x + k = (x - m)(x - m - 2)\)
\(x\) の係数を比べて \(m + (m + 2) = 8\)、\(m = 3\)。2つの解は \(3\) と \(5\)
\(k = 3 \times 5 = 15\)