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二次方程式の応用問題

基本的な文章題 が解けるようになったら、入試でよく出る動点・道幅・箱の問題に進みます。

解を確かめる習慣

二次方程式は解が2つ出ますが、文章題では片方が答えにならないことがよくあります。

必ず確かめること

  • 長さ・人数・個数は \(0\) より大きい
  • 動点の問題は 変域の中にあるか
  • 「もとの数より大きい」などの条件を満たすか

条件に合わない解は「問題に適さない」として捨てます。 答案には、なぜ捨てたのかを一言書くのが理想です。

型1：動点の問題

点が辺の上を動き、面積が指定の値になる時刻を求めます。

例題1

下の図で、長方形 ABCD は AB \(= 6\) cm、BC \(= 10\) cm です。 点 P は B を出発して毎秒 \(1\) cm で C へ、点 Q は C を出発して毎秒 \(2\) cm で D へ同時に動きます。

三角形 PCQ の面積が \(12\) cm² になるのは、出発してから何秒後ですか。

A D B C P → Q ↓ 6 10
P は B から C へ、Q は C から D へ同時に動く
解答

出発から \(x\) 秒後とします。

  • PC の長さ … P は B から \(x\) cm 進んだので、PC \(= 10 - x\)
  • CQ の長さ … Q は C から \(2x\) cm 進んだので、CQ \(= 2x\)

三角形 PCQ は \(\angle C\) が直角なので

\[ \frac{1}{2} \times (10 - x) \times 2x = 12 \]
\[ x(10 - x) = 12 \]
\[ 10x - x^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 10x + 12 = 0 \]

解の公式より

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2} = 5 \pm \sqrt{13} \]

変域を確認します。 P は \(10\) 秒、Q は \(6 \div 2 = 3\) 秒で端に着くので

\[ 0 \leqq x \leqq 3 \]

\(\sqrt{13} = 3.6\ldots\) なので

  • \(5 + \sqrt{13} = 8.6\ldots\) → 変域外なので不適
  • \(5 - \sqrt{13} = 1.4\ldots\) → 変域内なので適する
\[ \boxed{(5 - \sqrt{13}) \text{ 秒後}} \]

変域は「先に止まるほう」で決まる

P は \(10\) 秒、Q は \(3\) 秒動けます。 2点が同時に動くので、短いほう（\(3\) 秒）が変域の上限です。

例題2

1辺 \(8\) cm の正方形 ABCD で、点 P は A を出発して毎秒 \(1\) cm で B へ、 点 Q は B を出発して毎秒 \(1\) cm で C へ同時に動きます。

三角形 PBQ の面積が \(6\) cm² になるのは何秒後ですか。

解答

\(x\) 秒後とすると

  • PB \(= 8 - x\)（P は A から \(x\) cm 進んだ）
  • BQ \(= x\)

\(\angle B\) は直角なので

\[ \frac{1}{2}(8 - x) \times x = 6 \]
\[ x(8-x) = 12 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 8x + 12 = 0 \]
\[ (x - 2)(x - 6) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2,\ 6 \]

変域は \(0 \leqq x \leqq 8\) なので、どちらも適します。

\[ \boxed{2 \text{ 秒後と } 6 \text{ 秒後}} \]

2つとも答えになることもある

面積は増えてから減るので、同じ面積になる瞬間が2回あります。 機械的に片方を捨てないでください。変域で判断します。

型2：道幅の問題

土地に道を作り、残りの面積を求める問題です。

道を端に寄せて考える

道が真ん中にあっても、端に寄せて考えてよいのがポイントです。 残った土地を1つの長方形にまとめられます。

例題3

たて \(10\) m、よこ \(16\) m の長方形の土地に、 同じ幅の道を縦横に1本ずつ作ったところ、道を除いた面積が \(126\) m² になりました。 道の幅を求めなさい。

道 道 よこ たて
道は同じ幅。色のついた部分が道
解答

道の幅を \(x\) m とします。

道を端に寄せて考えると、残った土地は たて \((10 - x)\) m、よこ \((16 - x)\) m の1つの長方形になります。

\[ (10 - x)(16 - x) = 126 \]
\[ 160 - 26x + x^2 = 126 \]
\[ x^2 - 26x + 34 = 0 \]

解の公式より

\[ x = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 136}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{540}}{2} \]

\(\sqrt{540} = 6\sqrt{15} = 23.2\ldots\) なので

  • \(x = \dfrac{26 + 23.2}{2} = 24.6\ldots\) → 土地のたて \(10\) m を超えるので不適
  • \(x = \dfrac{26 - 23.2}{2} = 1.3\ldots\)
\[ x = \frac{26 - 6\sqrt{15}}{2} = 13 - 3\sqrt{15} \]
\[ \boxed{(13 - 3\sqrt{15}) \text{ m}} \]

道幅が土地より大きい解は捨てる

\(0 < x < 10\)（たての長さ未満）が条件です。 大きいほうの解は明らかに不適なので、必ず確認しましょう。

例題4

たて \(12\) m、よこ \(20\) m の土地に同じ幅の道を作り、 残りの面積が \(176\) m² になりました。道の幅を求めなさい。

解答

幅を \(x\) m として

\[ (12 - x)(20 - x) = 176 \]
\[ 240 - 32x + x^2 = 176 \]
\[ x^2 - 32x + 64 = 0 \]

解の公式より

\[ x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 256}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{768}}{2} \]

\(\sqrt{768} = 16\sqrt{3} = 27.7\ldots\) なので

\[ x = \frac{32 - 16\sqrt{3}}{2} = 16 - 8\sqrt{3} \]

\(16 - 8\sqrt{3} = 2.14\ldots\) で \(0 < x < 12\) を満たします。 （もう一方は \(29.8\ldots\) で不適）

\[ \boxed{(16 - 8\sqrt{3}) \text{ m}} \]

型3：箱を作る問題

正方形の紙の四隅を切り取って、箱を作ります。

例題5

1辺 \(20\) cm の正方形の紙の四隅から、1辺 \(x\) cm の正方形を切り取り、 折り曲げてふたのない箱を作ります。底面積が \(144\) cm² になるとき、\(x\) を求めなさい。

底面 x x x x
四隅の赤い部分（1辺 x）を切り取って折り曲げる
解答

底面は1辺 \((20 - 2x)\) cm の正方形です。 両側から \(x\) ずつ切るので \(2x\) 引くのがポイントです。

\[ (20 - 2x)^2 = 144 \]
\[ 20 - 2x = \pm 12 \]

\(20 - 2x = 12\) のとき … \(x = 4\) \(20 - 2x = -12\) のとき … \(x = 16\)

変域は、切り取れる大きさから \(0 < x < 10\) なので

\[ \boxed{x = 4} \]

（\(x = 16\) は紙の半分を超えるので不適）

\(2x\) を引くのを忘れない

\((20 - x)^2\) としてしまうミスが非常に多いです。 左右の両方から切り取るので \(2x\) です。

型4：増加・減少の問題

例題6

ある品物の値段を \(x\) % 値上げしたところ、売れる個数が \(x\) % 減り、 売上が \(4\) % 減りました。\(x\) を求めなさい。 （もとの値段を \(a\) 円、もとの個数を \(b\) 個とします）

解答

値上げ後の値段は \(a\left(1 + \dfrac{x}{100}\right)\)、個数は \(b\left(1 - \dfrac{x}{100}\right)\) です。

売上が \(4\) % 減ったので、もとの \(0.96\) 倍になります。

\[ ab\left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.96ab \]

両辺を \(ab\) で割り、和と差の積を使うと

\[ 1 - \frac{x^2}{10000} = 0.96 \]
\[ \frac{x^2}{10000} = 0.04 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 400 \]
\[ x = \pm 20 \]

値上げ率なので \(x > 0\)。よって

\[ \boxed{x = 20} \]

練習問題

問1

たて \(6\) cm、よこ \(10\) cm の長方形で、点 P は B を出発し毎秒 \(1\) cm で C へ動きます。 三角形 ABP の面積が \(9\) cm² になるのは何秒後ですか。

解答

\(x\) 秒後とすると BP \(= x\)、高さ AB \(= 6\)。

\[ \frac{1}{2} \times x \times 6 = 9 \quad\Rightarrow\quad 3x = 9 \quad\Rightarrow\quad x = 3 \]

変域 \(0 \leqq x \leqq 10\) を満たすので \(3\) 秒後

（これは一次方程式になります。動点でも常に二次になるとは限りません）

問2

連続する2つの正の整数があり、それぞれを2乗した数の和が \(145\) です。この2つの整数を求めなさい。

解答

小さいほうを \(x\) とすると、大きいほうは \(x + 1\)。

\[ x^2 + (x+1)^2 = 145 \]
\[ 2x^2 + 2x + 1 = 145 \quad\Rightarrow\quad x^2 + x - 72 = 0 \]
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -9,\ 8 \]

正の整数なので \(x = 8\)。

\[ \boxed{8 \text{ と } 9} \]

問3

1辺 \(16\) cm の正方形の紙の四隅から1辺 \(x\) cm の正方形を切り取って箱を作ったところ、 底面積が \(100\) cm² になりました。\(x\) を求めなさい。

解答
\[ (16 - 2x)^2 = 100 \quad\Rightarrow\quad 16 - 2x = \pm 10 \]

\(x = 3\) または \(x = 13\)。変域 \(0 < x < 8\) より

\[ \boxed{x = 3} \]

問4（応用）

たて \(15\) m、よこ \(24\) m の土地に、同じ幅の道を縦横に1本ずつ作ったところ、 残りの面積が \(308\) m² になりました。道の幅を求めなさい。

解答

幅を \(x\) m として、道を端に寄せると

\[ (15 - x)(24 - x) = 308 \]
\[ 360 - 39x + x^2 = 308 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 39x + 52 = 0 \]

解の公式より

\[ x = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 208}}{2} = \frac{39 \pm \sqrt{1313}}{2} \]

\(\sqrt{1313} = 36.2\ldots\) なので

\[ x = \frac{39 - 36.2\ldots}{2} = 1.38\ldots \]
\[ \boxed{x = \frac{39 - \sqrt{1313}}{2} \text{ m}} \]

（もう一方は \(37.6\ldots\) でたての \(15\) m を超えるため不適）

きれいな数にならないこともある

入試問題でも、根号のまま答えることはよくあります。 「割り切れないから間違い」とは限りません。変域で判断しましょう。

この単元のまとめ

  • 解が2つ出たら、必ず変域・条件を確認する。不適なら理由を書いて捨てる
  • 動点：2点が動くときは、先に止まるほうで変域が決まる。2つとも答えになることもある
  • 道幅：道を端に寄せて1つの長方形にまとめる
  • 箱：両側から切るので \(2x\) を引く
  • 答えが根号のままになることもある

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