連立方程式 練習問題¶
連立方程式の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 答え合わせは「解答」を開いて確かめよう。求めた解を、もとの2つの式に代入して確かめる習慣をつけよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
加減法¶
確認する解説ページ：連立方程式の解き方（加減法）
(1) \(\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}\)
解答
2式をたすと \(2x = 10\)、\(x = 5\)。代入して \(y = 2\)
\(x = 5,\ y = 2\)
(2) \(\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}\)
解答
2式をたすと \(4x = 16\)、\(x = 4\)。\(4 - 2y = 0\) より \(y = 2\)
\(x = 4,\ y = 2\)
(3) \(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
解答
上の式から下の式をひくと \(4y = 12\)、\(y = 3\)。\(2x - 3 = 1\) より \(x = 2\)
\(x = 2,\ y = 3\)
(4) \(\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ x + 2y = 4 \end{cases}\)
解答
下の式を \(2\) 倍すると \(2x + 4y = 8\)。上の式からひくと \(x = 2\)。\(2 + 2y = 4\) より \(y = 1\)
\(x = 2,\ y = 1\)
(5) \(\begin{cases} 5x - 3y = 11 \\ 2x + 4y = -6 \end{cases}\)
解答
上を \(4\) 倍、下を \(3\) 倍すると \(20x - 12y = 44\)、\(6x + 12y = -18\)
たすと \(26x = 26\)、\(x = 1\)。\(5 - 3y = 11\) より \(y = -2\)
\(x = 1,\ y = -2\)
(6) \(\begin{cases} 4x + 3y = 2 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases}\)
解答
上を \(2\) 倍、下を \(3\) 倍すると \(8x + 6y = 4\)、\(9x + 6y = 3\)
下から上をひくと \(x = -1\)。\(-4 + 3y = 2\) より \(y = 2\)
\(x = -1,\ y = 2\)
代入法¶
確認する解説ページ：連立方程式の解き方（代入法）
(7) \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}\)
解答
代入して \(3x + (2x - 1) = 9\)、\(5x = 10\)、\(x = 2\)。\(y = 3\)
\(x = 2,\ y = 3\)
(8) \(\begin{cases} x = 3y + 2 \\ 2x - 5y = 7 \end{cases}\)
解答
代入して \(2(3y + 2) - 5y = 7\)、\(y + 4 = 7\)、\(y = 3\)。\(x = 11\)
\(x = 11,\ y = 3\)
(9) \(\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 4x - y = 7 \end{cases}\)
解答
上の式より \(x = 5 - 3y\)。代入して \(4(5 - 3y) - y = 7\)、\(-13y = -13\)、\(y = 1\)。\(x = 2\)
\(x = 2,\ y = 1\)
(10) \(\begin{cases} y = -x + 6 \\ y = 2x - 3 \end{cases}\)
解答
\(-x + 6 = 2x - 3\) より \(x = 3\)。\(y = 3\)
\(x = 3,\ y = 3\)
(11) \(x = 2\)、\(y = -1\) が方程式 \(ax + 3y = 5\) の解であるとき、\(a\) の値を求めよ。
解答
代入して \(2a - 3 = 5\)、\(a = 4\)
標準¶
いろいろな連立方程式¶
確認する解説ページ：連立方程式の解き方（代入法）
(12) \(\begin{cases} 2(x + y) - y = 8 \\ 3(x - y) + 2y = 7 \end{cases}\)
解答
かっこをはずして整理すると \(\begin{cases} 2x + y = 8 \\ 3x - y = 7 \end{cases}\)
たすと \(5x = 15\)、\(x = 3\)。\(y = 2\)
\(x = 3,\ y = 2\)
(13) \(\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
解答
上の式を \(6\) 倍して \(3x + 2y = 18\)。下の式より \(x = y + 1\)
代入して \(3(y + 1) + 2y = 18\)、\(5y = 15\)、\(y = 3\)。\(x = 4\)
\(x = 4,\ y = 3\)
(14) \(\begin{cases} 0.3x + 0.2y = 1.3 \\ 0.5x - 0.1y = 1.3 \end{cases}\)
解答
両方を \(10\) 倍して \(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 5x - y = 13 \end{cases}\)
下を \(2\) 倍してたすと \(13x = 39\)、\(x = 3\)。\(y = 2\)
\(x = 3,\ y = 2\)
(15) \(2x + y = x - y + 5 = 7\)
解答
\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y + 5 = 7 \end{cases}\) と2つに分ける。下は \(x - y = 2\)
たすと \(3x = 9\)、\(x = 3\)。\(y = 1\)
\(x = 3,\ y = 1\)
(16) 連立方程式 \(\begin{cases} ax + by = 7 \\ bx + ay = 8 \end{cases}\) の解が \(x = 2,\ y = 1\) のとき、\(a\)、\(b\) の値を求めよ。
解答
代入して \(\begin{cases} 2a + b = 7 \\ a + 2b = 8 \end{cases}\)
これを解いて \(a = 2,\ b = 3\)
文章題（代金・整数）¶
確認する解説ページ：連立方程式の文章題（基本）
(17) 1個 \(80\) 円のりんごと1個 \(120\) 円のなしを、合わせて \(12\) 個買ったら、代金は \(1160\) 円だった。りんごとなしをそれぞれ何個買ったか。
解答
りんご \(x\) 個、なし \(y\) 個とする。
\(\begin{cases} x + y = 12 \\ 80x + 120y = 1160 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 7,\ y = 5\)。りんご \(7\) 個、なし \(5\) 個
(18) 鉛筆 \(3\) 本とノート \(2\) 冊の代金は \(540\) 円、鉛筆 \(5\) 本とノート \(1\) 冊の代金は \(480\) 円である。鉛筆1本とノート1冊の値段を求めよ。
解答
鉛筆 \(x\) 円、ノート \(y\) 円とする。
\(\begin{cases} 3x + 2y = 540 \\ 5x + y = 480 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 60,\ y = 180\)。鉛筆 \(60\) 円、ノート \(180\) 円
(19) 大小2つの数がある。和は \(50\) で、大きい数の \(2\) 倍から小さい数の \(3\) 倍をひくと \(25\) になる。2つの数を求めよ。
解答
大きい数を \(x\)、小さい数を \(y\) とする。
\(\begin{cases} x + y = 50 \\ 2x - 3y = 25 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 35,\ y = 15\)
(20) 2けたの正の整数がある。十の位の数と一の位の数の和は \(11\) で、十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より \(27\) 大きい。もとの整数を求めよ。
解答
十の位を \(x\)、一の位を \(y\) とする。もとの数は \(10x + y\)、入れかえた数は \(10y + x\)
\(\begin{cases} x + y = 11 \\ (10y + x) - (10x + y) = 27 \end{cases}\)
下の式は \(9y - 9x = 27\)、つまり \(y - x = 3\)。これを解いて \(x = 4,\ y = 7\)
もとの整数は \(47\)
文章題（割合）¶
確認する解説ページ：連立方程式の文章題（割合）
(21) 商品 A と B の定価の合計は \(3000\) 円である。A を定価の \(2\) 割引き、B を定価の \(3\) 割引きで買ったら、代金の合計は \(2280\) 円だった。A、B の定価を求めよ。
解答
A の定価を \(x\) 円、B の定価を \(y\) 円とする。
\(\begin{cases} x + y = 3000 \\ 0.8x + 0.7y = 2280 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 1800,\ y = 1200\)。A \(1800\) 円、B \(1200\) 円
(22) ある中学校の昨年の生徒数は \(500\) 人だった。今年は昨年と比べて、男子が \(4\%\) 増え、女子が \(5\%\) 減ったので、全体では \(7\) 人減った。昨年の男子と女子の人数を求めよ。
解答
昨年の男子を \(x\) 人、女子を \(y\) 人とする。
\(\begin{cases} x + y = 500 \\ 0.04x - 0.05y = -7 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 200,\ y = 300\)。男子 \(200\) 人、女子 \(300\) 人
(23) \(5\%\) の食塩水と \(10\%\) の食塩水を混ぜて、\(8\%\) の食塩水を \(500\) g つくりたい。それぞれ何 g 混ぜればよいか。
解答
\(5\%\) を \(x\) g、\(10\%\) を \(y\) g とする。食塩の重さに注目する。
\(\begin{cases} x + y = 500 \\ 0.05x + 0.1y = 500 \times 0.08 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 200,\ y = 300\)。\(5\%\) を \(200\) g、\(10\%\) を \(300\) g
文章題（速さ）¶
確認する解説ページ：連立方程式の文章題（速さ）
(24) A 町から峠をこえて B 町まで行く道のりは \(14\) km である。A 町から峠までは上り坂を時速 \(3\) km、峠から B 町までは下り坂を時速 \(5\) km で歩いたら、全体で \(4\) 時間かかった。上り坂と下り坂の道のりをそれぞれ求めよ。
解答
上り坂を \(x\) km、下り坂を \(y\) km とする。
\(\begin{cases} x + y = 14 \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{5} = 4 \end{cases}\)
下の式を \(15\) 倍して \(5x + 3y = 60\)。これを解いて \(x = 9,\ y = 5\)
上り坂 \(9\) km、下り坂 \(5\) km
(25) 1周 \(2400\) m の池のまわりを、A さんと B さんが同じ地点から同時に出発する。反対向きに進むと \(12\) 分後に初めて出会い、同じ向きに進むと \(60\) 分後に A さんが B さんに初めて追いつく。2人の速さはそれぞれ分速何 m か。
解答
A さんを分速 \(x\) m、B さんを分速 \(y\) m とする。
反対向き：2人の進んだ道のりの和が1周分。\(12x + 12y = 2400\)
同じ向き：2人の進んだ道のりの差が1周分。\(60x - 60y = 2400\)
\(x + y = 200\)、\(x - y = 40\) より \(x = 120,\ y = 80\)
A さん分速 \(120\) m、B さん分速 \(80\) m
(26) 川の上流と下流に \(24\) km はなれた2つの地点がある。船で上るのに \(3\) 時間、下るのに \(2\) 時間かかった。静水での船の速さと、川の流れの速さはそれぞれ時速何 km か。
解答
船の速さを時速 \(x\) km、流れの速さを時速 \(y\) km とする。上りは \(x - y\)、下りは \(x + y\)
\(\begin{cases} 3(x - y) = 24 \\ 2(x + y) = 24 \end{cases}\)
\(x - y = 8\)、\(x + y = 12\) より \(x = 10,\ y = 2\)
船は時速 \(10\) km、流れは時速 \(2\) km
発展¶
(27) 2つの連立方程式 \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ ax - y = 7 \end{cases}\) と \(\begin{cases} x - y = 4 \\ x + by = 1 \end{cases}\) が同じ解をもつ。\(a\)、\(b\) の値を求めよ。
解答
\(a\)、\(b\) をふくまない2式 \(2x + y = 5\)、\(x - y = 4\) を組にして解くと \(x = 3,\ y = -1\)
\(3a + 1 = 7\) より \(a = 2\)。\(3 - b = 1\) より \(b = 2\)
(28) ある列車が、長さ \(600\) m の鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに \(30\) 秒かかった。また、同じ速さで長さ \(1500\) m のトンネルを通るとき、列車がトンネルに完全にかくれていたのは \(40\) 秒間だった。列車の長さと速さ（秒速）を求めよ。
解答
列車の長さを \(x\) m、速さを秒速 \(y\) m とする。
鉄橋：列車が進む道のりは（鉄橋）＋（列車）。\(600 + x = 30y\)
トンネル：完全にかくれている間に進む道のりは（トンネル）−（列車）。\(1500 - x = 40y\)
2式をたすと \(2100 = 70y\)、\(y = 30\)。\(x = 300\)
長さ \(300\) m、秒速 \(30\) m
(29) 2けたの正の整数がある。一の位の数は、十の位の数の \(2\) 倍より \(1\) 小さい。また、十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より \(36\) 大きい。もとの整数を求めよ。
解答
十の位を \(x\)、一の位を \(y\) とする。
\(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ (10y + x) - (10x + y) = 36 \end{cases}\)
下の式は \(y - x = 4\)。代入して \(x - 1 = 4\)、\(x = 5\)、\(y = 9\)
もとの整数は \(59\)
(30) 品物 A と B を仕入れた。仕入れ値の合計は \(5000\) 円である。A には仕入れ値の \(20\%\)、B には仕入れ値の \(30\%\) の利益を見込んで定価をつけたら、定価の合計は \(6300\) 円になった。A、B の仕入れ値を求めよ。
解答
A の仕入れ値を \(x\) 円、B を \(y\) 円とする。
\(\begin{cases} x + y = 5000 \\ 1.2x + 1.3y = 6300 \end{cases}\)
これを解いて \(x = 2000,\ y = 3000\)。A \(2000\) 円、B \(3000\) 円
(31) 家から \(3\) km はなれた駅まで行くのに、はじめは分速 \(60\) m で歩き、途中から分速 \(150\) m で走ったら、全体で \(32\) 分かかった。歩いた道のりと走った道のりを求めよ。
解答
歩いた道のりを \(x\) m、走った道のりを \(y\) m とする（単位を m にそろえる）。
\(\begin{cases} x + y = 3000 \\ \dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 32 \end{cases}\)
下の式を \(300\) 倍して \(5x + 2y = 9600\)。これを解いて \(x = 1200,\ y = 1800\)
歩いた道のり \(1200\) m、走った道のり \(1800\) m