確率 練習問題¶
確率の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- さいころ・コイン・くじは、どれが出ることも同様に確からしいものとする。
- 樹形図や表をかいて、もれなく数えよう。間違えた問題は解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
確率の意味¶
確認する解説ページ：確率の基本
(1) さいころを1個投げるとき、次の確率を求めよ。
(a) \(4\) 以下の目が出る (b) 素数の目が出る (c) \(7\) の目が出る
解答
(a) \(1,2,3,4\) の \(4\) 通り。\(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
(b) \(2,3,5\) の \(3\) 通り。\(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
(c) 決して起こらないので \(0\)
(2) \(1\) から \(20\) までの数が1つずつ書かれた \(20\) 枚のカードから1枚引く。次の確率を求めよ。
(a) \(5\) の倍数が出る (b) 2けたの数が出る
解答
(a) \(5, 10, 15, 20\) の \(4\) 枚。\(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\)
(b) \(10\) から \(20\) の \(11\) 枚。\(\dfrac{11}{20}\)
(3) あることがらが起こる確率が \(\dfrac{3}{8}\) のとき、そのことがらが起こらない確率を求めよ。
解答
\(1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\)
(4) 赤玉 \(4\) 個、青玉 \(3\) 個、白玉 \(1\) 個が入った袋から玉を1個取り出すとき、青玉が出る確率を求めよ。
解答
全部で \(8\) 個。\(\dfrac{3}{8}\)
コイン・さいころ2つ¶
確認する解説ページ：確率の基本
(5) 2枚のコインを投げるとき、次の確率を求めよ。
(a) 2枚とも裏が出る (b) 1枚が表で1枚が裏が出る
解答
出方は（表表）（表裏）（裏表）（裏裏）の \(4\) 通り。
(a) \(\dfrac{1}{4}\) (b) \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
(6) 大小2つのさいころを投げるとき、目の和が \(5\) になる確率を求めよ。
解答
\((1,4)(2,3)(3,2)(4,1)\) の \(4\) 通り。\(\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\)
(7) 大小2つのさいころを投げるとき、出た目の差が \(2\) になる確率を求めよ。
解答
\((1,3)(3,1)(2,4)(4,2)(3,5)(5,3)(4,6)(6,4)\) の \(8\) 通り。\(\dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\)
(8) 大小2つのさいころを投げるとき、出た目の積が \(12\) になる確率を求めよ。
解答
\((2,6)(3,4)(4,3)(6,2)\) の \(4\) 通り。\(\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\)
選び方・並べ方¶
確認する解説ページ：確率の基本
(9) A、B、C、D の4人から代表を2人選ぶ。A が選ばれる確率を求めよ。
解答
選び方は AB、AC、AD、BC、BD、CD の \(6\) 通り。A をふくむのは \(3\) 通り。\(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
(10) \(1\)、\(2\)、\(3\) のカードを1枚ずつ並べて3けたの整数をつくる。奇数になる確率を求めよ。
解答
並べ方は \(123, 132, 213, 231, 312, 321\) の \(6\) 通り。一の位が \(1\) か \(3\) のものは \(4\) 通り。
\(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
(11) 2人でじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求めよ。
解答
手の出し方は \(3 \times 3 = 9\) 通り。あいこは同じ手を出す \(3\) 通り。\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
標準¶
さいころ2つ・コイン¶
確認する解説ページ：確率の基本
(12) 大小2つのさいころを投げるとき、目の和が \(4\) の倍数になる確率を求めよ。
解答
和が \(4\)：\(3\) 通り、和が \(8\)：\(5\) 通り、和が \(12\)：\(1\) 通り。合わせて \(9\) 通り。
\(\dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\)
(13) 大小2つのさいころを投げるとき、少なくとも1つは \(1\) の目が出る確率を求めよ。
解答
どちらも \(1\) 以外が出るのは \(5 \times 5 = 25\) 通り。
\(1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}\)
(14) 大小2つのさいころを投げるとき、大きいさいころの目が小さいさいころの目より大きくなる確率を求めよ。
解答
同じ目が出る \(6\) 通りを除いた \(30\) 通りのうち、半分の \(15\) 通り。\(\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\)
(15) 3枚のコインを投げるとき、表が2枚以上出る確率を求めよ。
解答
出方は \(8\) 通り。表2枚が \(3\) 通り、表3枚が \(1\) 通り。\(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)
(16) 4枚のコインを投げるとき、表がちょうど2枚出る確率を求めよ。
解答
出方は \(2^4 = 16\) 通り。表になる2枚の選び方は \(6\) 通り。\(\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\)
カード・玉・くじ¶
確認する解説ページ：確率の基本
(17) \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\) のカードから続けて2枚引き、1枚目を十の位、2枚目を一の位として2けたの整数をつくる。\(3\) の倍数になる確率を求めよ。
解答
できる整数は \(4 \times 3 = 12\) 通り。\(3\) の倍数は \(12, 21, 24, 42\) の \(4\) 通り。\(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
(18) 赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から1個取り出して色を調べ、袋にもどしてからもう1個取り出す。2回とも赤玉である確率を求めよ。
解答
もどすので、取り出し方は \(5 \times 5 = 25\) 通り。2回とも赤は \(3 \times 3 = 9\) 通り。\(\dfrac{9}{25}\)
(19) 赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から、もどさずに続けて2個取り出す。2個とも白玉である確率を求めよ。
解答
玉を区別すると、取り出し方は \(5 \times 4 = 20\) 通り。2個とも白は \(2 \times 1 = 2\) 通り。\(\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\)
(20) 当たりが \(2\) 本、はずれが \(3\) 本入ったくじがある。A が先に1本引き、もどさずに B が1本引く。A が当たる確率と、B が当たる確率をそれぞれ求めよ。
解答
くじを区別すると、引き方は \(5 \times 4 = 20\) 通り。
A が当たる：\(2 \times 4 = 8\) 通り。\(\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\)
B が当たる：A 当たり・B 当たり \(2 \times 1 = 2\) 通り、A はずれ・B 当たり \(3 \times 2 = 6\) 通り。\(\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\)
先に引いても後に引いても、当たる確率は同じ。
(21) 男子 A、B と女子 C、D、E の5人から、2人を選ぶ。男子1人、女子1人が選ばれる確率を求めよ。
解答
選び方は \(10\) 通り。男女1人ずつは \(2 \times 3 = 6\) 通り。\(\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\)
(22) A、B、C、D の4人が1列に並ぶとき、A と B がとなり合う確率を求めよ。
解答
並び方は \(24\) 通り。AB をひとまとまりと考えると、まとまりと C、D の並び方が \(6\) 通り、まとまりの中の並び方（AB か BA）が \(2\) 通りで \(12\) 通り。
\(\dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}\)
(23) A、B、C の3人でじゃんけんを1回するとき、A だけが勝つ確率を求めよ。
解答
手の出し方は \(3^3 = 27\) 通り。A だけが勝つのは、A がグー・B と C がチョキ のように、A の手ごとに \(1\) 通りずつで \(3\) 通り。
\(\dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9}\)
発展¶
(24) 大小2つのさいころを投げ、大きいさいころの目を \(a\)、小さいさいころの目を \(b\) とする。点 \((a,\ b)\) が直線 \(y = x + 1\) 上にある確率を求めよ。
解答
\(b = a + 1\) となるのは \((1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)\) の \(5\) 通り。\(\dfrac{5}{36}\)
(25) 大小2つのさいころを投げ、大きいさいころの目を \(a\)、小さいさいころの目を \(b\) とする。\(\dfrac{a}{b}\) が整数になる確率を求めよ。
解答
\(a\) が \(b\) でわり切れる場合を数える。
\(b = 1\)：\(6\) 通り、\(b = 2\)：\(3\) 通り、\(b = 3\)：\(2\) 通り、\(b = 4, 5, 6\)：\(1\) 通りずつ。合わせて \(14\) 通り。
\(\dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}\)
(26) A、B、C の3人でじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求めよ。
解答
勝負がつくのは、3人の手が2種類だけのとき。2種類の手の選び方が \(3\) 通り、その2種類で3人の手を決める方法が（全員同じを除いて）\(2^3 - 2 = 6\) 通り。\(3 \times 6 = 18\) 通り。
あいこは \(27 - 18 = 9\) 通り。\(\dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\)
(27) 正方形 ABCD の頂点 A に点 P がある。さいころを投げて出た目の数だけ、P は A → B → C → D → A → … の順に頂点を移動する。
(a) さいころを1回投げたとき、P が C にある確率を求めよ。
(b) さいころを2回投げたとき（2回目は1回目に止まった頂点から進む）、P が C にある確率を求めよ。
解答
C にあるのは、進んだ数を \(4\) でわった余りが \(2\) のとき。
(a) 目が \(2\) か \(6\) の \(2\) 通り。\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
(b) 2回の目の和が \(2, 6, 10\) のとき。和 \(2\)：\(1\) 通り、和 \(6\)：\(5\) 通り、和 \(10\)：\(3\) 通り。\(\dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\)
(28) 赤玉 \(2\) 個、白玉 \(2\) 個、青玉 \(1\) 個が入った袋から、同時に2個取り出す。2個が同じ色である確率を求めよ。
解答
赤を \(r_1, r_2\)、白を \(w_1, w_2\)、青を \(b\) と区別すると、取り出し方は \(10\) 通り。
同じ色は \(\{r_1, r_2\}\) と \(\{w_1, w_2\}\) の \(2\) 通り。\(\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\)
(29) \(1\) から \(5\) までのカードから続けて2枚引き、1枚目を十の位、2枚目を一の位として2けたの整数をつくる。偶数になる確率を求めよ。
解答
できる整数は \(5 \times 4 = 20\) 通り。一の位が \(2\) のとき十の位は \(4\) 通り、一の位が \(4\) のときも \(4\) 通り。
\(\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\)
(30) 大小2つのさいころを投げるとき、目の和が素数になる確率を求めよ。
解答
和が素数になるのは \(2, 3, 5, 7, 11\) のとき。
和 \(2\)：\(1\) 通り、和 \(3\)：\(2\) 通り、和 \(5\)：\(4\) 通り、和 \(7\)：\(6\) 通り、和 \(11\)：\(2\) 通り。合わせて \(15\) 通り。
\(\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\)