合同と証明¶

合同とは¶

2つの図形がぴったり重ね合わせられるとき、その2つは合同であるといいます。

記号は \(\equiv\) を使い、\(\triangle ABC \equiv \triangle DEF\) と書きます。

頂点を対応する順に書く

\(\triangle ABC \equiv \triangle DEF\) と書いたら、

A と D、B と E、C と F が対応

という意味になります。順番を入れかえて書いてはいけません。順番が正しければ、\(AB = DE\)、\(\angle B = \angle E\) などが自動的に読み取れます。

合同な図形の性質¶

\[ \text{対応する辺は等しい}, \qquad \text{対応する角は等しい} \]

三角形の合同条件¶

3つのうちどれか1つが言えれば、2つの三角形は合同です。

三角形の合同条件

3組の辺がそれぞれ等しい
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

「間の角」「両端の角」に注意¶

位置関係が条件に入っている

条件2は「2辺の間の角」でなければいけません。間でない角ではダメです
条件3は「1辺の両端の角」でなければいけません

2組の辺と、間でない角が等しくても、合同とは限りません。ここが最もまちがえやすいところです。

直角三角形のときの追加条件¶

直角三角形には、さらに2つの条件が使えます（3年生で詳しく扱います）。

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

証明の書き方¶

証明は決まった型があります。型どおりに書けば、必ず形になります。

証明の型

【仮定】 問題文に書かれていること
【結論】 示したいこと

（証明）
△ABC と △DEF において
  ① ○○ = ○○     …（根拠）
  ② ○○ = ○○     …（根拠）
  ③ ○○ = ○○     …（根拠）
①②③より、□□がそれぞれ等しいので
  △ABC ≡ △DEF
合同な図形の対応する辺（角）は等しいので
  △△ = △△

根拠として書けるもの¶

根拠	いつ使うか
仮定	問題文に最初から書いてある
共通な辺／角	2つの三角形が同じ辺・角を共有している
対頂角は等しい	2直線が交わっている
錯角／同位角が等しい	平行な線がある
合同な図形の対応する辺（角）	合同を示したあと

「なんとなく等しそう」は根拠にならない

図を見て等しそうでも、根拠を言葉で書けなければ使えません。上の表のどれかに当てはまるか、必ず確認しましょう。

証明を組み立ててみよう¶

いきなり書くのは難しいので、根拠を選んで組み立てる練習から始めましょう。 3つの証明（二等辺三角形の底角、平行四辺形の対辺、対頂角）を用意しています。

例題¶

例題1¶

線分 AB と CD が点 O で交わり、\(AO = BO\)、\(CO = DO\) である。このとき \(AC = BD\) であることを証明しなさい。

解答

【仮定】 \(AO = BO\)、\(CO = DO\) 【結論】 \(AC = BD\)

（証明）

\(\triangle AOC\) と \(\triangle BOD\) において

① \(AO = BO\) …（仮定）
② \(CO = DO\) …（仮定）
③ \(\angle AOC = \angle BOD\) …（対頂角は等しい）

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

\[ \triangle AOC \equiv \triangle BOD \]

合同な図形の対応する辺は等しいので

\[ AC = BD \]

（証明終わり）

なぜ「間の角」といえるのか

\(\angle AOC\) は、辺 \(AO\) と辺 \(CO\) にはさまれた角です。使った2辺の間にあるので、条件2が使えます。

例題2¶

\(AB = AC\) である二等辺三角形 ABC で、辺 AB、AC 上に \(AD = AE\) となる点 D、E をとる。このとき \(BE = CD\) であることを証明しなさい。

解答

【仮定】 \(AB = AC\)、\(AD = AE\) 【結論】 \(BE = CD\)

（証明）

\(\triangle ABE\) と \(\triangle ACD\) において

① \(AB = AC\) …（仮定）
② \(AE = AD\) …（仮定）
③ \(\angle A = \angle A\) …（共通な角）

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

\[ \triangle ABE \equiv \triangle ACD \]

合同な図形の対応する辺は等しいので

\[ BE = CD \]

（証明終わり）

どの2つの三角形を選ぶか

\(BE\) と \(CD\) を含む三角形を探すのがコツです。 \(BE\) は \(\triangle ABE\) に、\(CD\) は \(\triangle ACD\) にあります。 結論に出てくる辺や角を含む三角形を選びましょう。

練習問題¶

問1¶

次の2つの三角形が合同であるとき、使える合同条件を答えなさい。

\(AB = DE\)、\(BC = EF\)、\(CA = FD\)
\(AB = DE\)、\(\angle B = \angle E\)、\(BC = EF\)
\(\angle B = \angle E\)、\(BC = EF\)、\(\angle C = \angle F\)

解答

(1) 3組の辺がそれぞれ等しい

(2) 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（\(\angle B\) は辺 \(AB\) と \(BC\) の間にあります）

(3) 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい（\(BC\) の両端が \(\angle B\) と \(\angle C\) です）

問2¶

\(\triangle ABC \equiv \triangle DEF\) のとき、次のうち正しいものをすべて選びなさい。

\(AB = DE\)
\(AB = EF\)
\(\angle A = \angle D\)
\(\angle B = \angle F\)

解答

(1) と (3)

対応は A↔D、B↔E、C↔F です。

(2) \(AB\) に対応するのは \(DE\)。\(EF\) に対応するのは \(BC\)
(4) \(\angle B\) に対応するのは \(\angle E\)

問3¶

\(AB \parallel DC\)、\(AB = DC\) のとき、\(\triangle ABC \equiv \triangle CDA\) を証明しなさい。

解答

【仮定】 \(AB \parallel DC\)、\(AB = DC\) 【結論】 \(\triangle ABC \equiv \triangle CDA\)

（証明）

\(\triangle ABC\) と \(\triangle CDA\) において

① \(AB = CD\) …（仮定）
② \(\angle BAC = \angle DCA\) …（\(AB \parallel DC\) で錯角は等しい）
③ \(AC = CA\) …（共通な辺）

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

\[ \triangle ABC \equiv \triangle CDA \]

（証明終わり）

問4（応用）¶

\(\triangle ABC\) で、\(\angle B\) の二等分線と \(\angle C\) の二等分線の交点を P とする。 \(AB = AC\) のとき、\(PB = PC\) であることを証明しなさい。

解答

【仮定】 \(AB = AC\)、BP は \(\angle B\) の二等分線、CP は \(\angle C\) の二等分線 【結論】 \(PB = PC\)

（証明）

\(AB = AC\) より、\(\triangle ABC\) は二等辺三角形なので

\[ \angle ABC = \angle ACB \quad \cdots (\ast) \]

BP、CP はそれぞれの二等分線なので

\[ \angle PBC = \frac{1}{2}\angle ABC, \qquad \angle PCB = \frac{1}{2}\angle ACB \]

\((\ast)\) より、これらは等しいので

\[ \angle PBC = \angle PCB \]

\(\triangle PBC\) は2つの角が等しいので二等辺三角形であり

\[ PB = PC \]

（証明終わり）

合同を使わない証明もある

この問題は「2角が等しい三角形は二等辺三角形」という性質を使いました。合同だけが証明の道具ではありません。

この単元のまとめ¶

合同は \(\equiv\)。対応する順に頂点を書く
合同条件は3つ。「間の角」「両端の角」という位置関係が大事
証明は型どおりに書く：仮定 → 根拠のある段階 → 合同 → 結論
根拠に書けるのは、仮定・共通・対頂角・錯角／同位角・合同の性質
結論に出てくる辺や角を含む三角形を選ぶ

次は三角形と四角形で、二等辺三角形と平行四辺形を扱います。

もっと練習しよう

この分野の問題をもっと解きたいときは、平行と合同練習問題に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。