三角形と四角形 練習問題¶
三角形と四角形の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 図がない問題は、文章を読んで自分で図をかいてから考えよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
二等辺三角形・正三角形¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(1) AB \(=\) AC の二等辺三角形 ABC で、\(\angle\)A \(= 58°\) のとき、\(\angle\)B を求めよ。
解答
底角は等しいので \((180° - 58°) \div 2 = 61°\)
(2) AB \(=\) AC の二等辺三角形 ABC で、\(\angle\)C \(= 72°\) のとき、\(\angle\)A を求めよ。
解答
\(\angle\)B \(= \angle\)C \(= 72°\) なので \(\angle\)A \(= 180° - 144° = 36°\)
(3) AB \(=\) AC の二等辺三角形 ABC で、辺 BA を A の先にのばしてできる外角が \(110°\) のとき、\(\angle\)B を求めよ。
解答
外角 \(= \angle\)B \(+ \angle\)C \(= 110°\)。\(\angle\)B \(= \angle\)C なので \(\angle\)B \(= 55°\)
(4) 二等辺三角形の定義を答えよ。また、二等辺三角形の頂角の二等分線には、底辺に対してどんな性質があるか。
解答
定義：2つの辺が等しい三角形
頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。
(5) \(\triangle\)ABC で \(\angle\)B \(= \angle\)C \(= 50°\) のとき、等しい辺はどれとどれか。
解答
2つの角が等しい三角形は二等辺三角形。AB \(=\) AC
直角三角形の合同¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(6) 直角三角形の合同条件を2つ答えよ。
解答
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
(7) 2つの直角三角形で、次の条件が成り立つとき、合同といえるか。いえる場合は合同条件を答えよ。
(a) 斜辺が等しく、直角でない角の1つが等しい。
(b) 直角をはさむ2辺がそれぞれ等しい。
(c) 直角以外の2つの角がそれぞれ等しい。
解答
(a) いえる。斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
(b) いえる。2組の辺とその間の角（直角）がそれぞれ等しい。
(c) いえない。形は同じでも、大きさがちがうことがある。
平行四辺形¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(8) 平行四辺形の定義を答えよ。
解答
2組の向かい合う辺が、それぞれ平行な四角形
(9) 平行四辺形 ABCD で、\(\angle\)B \(= 115°\) のとき、\(\angle\)A、\(\angle\)C、\(\angle\)D を求めよ。
解答
\(\angle\)B と向かい合うのは \(\angle\)D なので \(\angle\)D \(= 115°\)
となり合う角の和は \(180°\) なので \(\angle\)A \(= 65°\)。\(\angle\)C は \(\angle\)A と向かい合うので \(65°\)
(10) 平行四辺形 ABCD で、AB \(= 7\) cm、BC \(= 10\) cm のとき、周の長さを求めよ。
解答
向かい合う辺は等しいので \((7 + 10) \times 2 = 34\)（cm）
(11) 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とする。AC \(= 12\) cm、BD \(= 8\) cm のとき、AO と BO の長さを求めよ。
解答
対角線はそれぞれの中点で交わる。AO \(= 6\) cm、BO \(= 4\) cm
(12) 平行四辺形 ABCD で、\(\angle\)A \(: \angle\)B \(= 4 : 5\) のとき、\(\angle\)A を求めよ。
解答
\(\angle\)A \(+ \angle\)B \(= 180°\) なので \(\angle\)A \(= 180° \times \dfrac{4}{9} = 80°\)
特別な平行四辺形¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(13) 長方形・ひし形・正方形の対角線には、それぞれどんな性質があるか。
解答
長方形：長さが等しく、それぞれの中点で交わる。
ひし形：垂直に交わり、それぞれの中点で交わる。
正方形：長さが等しく、垂直に、それぞれの中点で交わる。
(14) 対角線の長さが \(10\) cm と \(7\) cm のひし形の面積を求めよ。
解答
\(10 \times 7 \div 2 = 35\)（cm²）
標準¶
平行四辺形になる条件・特別な平行四辺形になる条件¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(15) 四角形 ABCD の対角線の交点を O とする。次の (ア)〜(エ) のうち、四角形 ABCD が必ず平行四辺形になるものをすべて選べ。
(ア) \(\angle\)A \(= \angle\)C、\(\angle\)B \(= \angle\)D
(イ) AO \(=\) CO、BO \(=\) DO
(ウ) AB \(=\) DC、AD \(\parallel\) BC
(エ) \(\angle\)A \(+ \angle\)B \(= 180°\)、\(\angle\)B \(+ \angle\)C \(= 180°\)
解答
(ア)、(イ)、(エ)
(ウ) は、AD \(\parallel\) BC で AB \(=\) DC の台形（等脚台形）の場合があるので、必ずとはいえない。
(エ) は、\(\angle\)A \(+ \angle\)B \(= 180°\) から AD \(\parallel\) BC、\(\angle\)B \(+ \angle\)C \(= 180°\) から AB \(\parallel\) DC がいえる。
(16) 平行四辺形 ABCD に、どんな条件を1つ加えると長方形になるか。また、ひし形になるか。それぞれ2つずつ答えよ。
解答
長方形：\(\angle\)A \(= 90°\)、AC \(=\) BD（対角線の長さが等しい）など
ひし形：AB \(=\) BC（となり合う辺が等しい）、AC \(\perp\) BD（対角線が垂直）など
角度と長さを求める¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(17) AB \(=\) AC、\(\angle\)A \(= 36°\) の二等辺三角形 ABC で、\(\angle\)B の二等分線と辺 AC の交点を D とする。\(\angle\)BDC を求めよ。また、\(\triangle\)BCD はどんな三角形か。
解答
\(\angle\)B \(= \angle\)C \(= 72°\)、\(\angle\)DBC \(= 36°\)
\(\angle\)BDC \(= 180° - 36° - 72° = 72°\)
\(\angle\)BDC \(= \angle\)BCD なので、\(\triangle\)BCD は BC \(=\) BD の二等辺三角形
(18) 平行四辺形 ABCD で、AB \(= 6\) cm、AD \(= 10\) cm である。\(\angle\)A の二等分線と辺 BC の交点を E とするとき、BE と EC の長さを求めよ。
解答
AD \(\parallel\) BC より錯角が等しいので \(\angle\)DAE \(= \angle\)AEB
\(\angle\)BAE \(= \angle\)DAE なので \(\angle\)BAE \(= \angle\)AEB。\(\triangle\)ABE は二等辺三角形で BE \(=\) AB \(= 6\) cm
EC \(= 10 - 6 = 4\)（cm）
(19) 平行四辺形 ABCD で、\(\angle\)D \(= 70°\) である。辺 BC 上に、AB \(=\) AE となる点 E をとる。\(\angle\)EAD を求めよ。
解答
\(\angle\)B \(= \angle\)D \(= 70°\)。\(\triangle\)ABE は二等辺三角形なので \(\angle\)AEB \(= 70°\)、\(\angle\)BAE \(= 40°\)
\(\angle\)A \(= 180° - 70° = 110°\) なので \(\angle\)EAD \(= 110° - 40° = 70°\)
(20) AD \(\parallel\) BC の台形 ABCD の対角線の交点を O とする。
(a) \(\triangle\)ABC と面積が等しい三角形を答えよ。
(b) \(\triangle\)ABO と面積が等しい三角形を答えよ。
解答
(a) \(\triangle\)DBC（底辺 BC が共通で、AD \(\parallel\) BC より高さが等しい）
(b) \(\triangle\)DCO（\(\triangle\)ABC \(-\) \(\triangle\)OBC \(=\) \(\triangle\)DBC \(-\) \(\triangle\)OBC）
証明¶
確認する解説ページ：三角形と四角形の性質
(21) AB \(=\) AC の二等辺三角形 ABC の辺 BC 上に、BD \(=\) CE となる点 D、E をとる。AD \(=\) AE であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)ABD と \(\triangle\)ACE で、
仮定より AB \(=\) AC …①、BD \(=\) CE …②
二等辺三角形の底角は等しいので \(\angle\)ABD \(= \angle\)ACE …③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ABD \(\equiv\) \(\triangle\)ACE
よって AD \(=\) AE
(22) 平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に、BE \(=\) DF となる点 E、F をとる。AE \(=\) CF であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)ABE と \(\triangle\)CDF で、
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので AB \(=\) CD …①
仮定より BE \(=\) DF …②
AB \(\parallel\) DC より錯角が等しいので \(\angle\)ABE \(= \angle\)CDF …③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ABE \(\equiv\) \(\triangle\)CDF
よって AE \(=\) CF
(23) AB \(=\) AC の二等辺三角形 ABC で、頂点 B から辺 AC に垂線 BD、頂点 C から辺 AB に垂線 CE を引く。BD \(=\) CE であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)DBC と \(\triangle\)ECB で、
仮定より \(\angle\)BDC \(= \angle\)CEB \(= 90°\) …①
共通な辺なので BC \(=\) CB …②
二等辺三角形の底角は等しいので \(\angle\)DCB \(= \angle\)EBC …③
①②③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)DBC \(\equiv\) \(\triangle\)ECB
よって BD \(=\) CE
(24) 平行四辺形 ABCD の頂点 A、C から、対角線 BD に垂線 AE、CF を引く。AE \(=\) CF であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)ABE と \(\triangle\)CDF で、
仮定より \(\angle\)AEB \(= \angle\)CFD \(= 90°\) …①
平行四辺形の向かい合う辺は等しいので AB \(=\) CD …②
AB \(\parallel\) DC より錯角が等しいので \(\angle\)ABE \(= \angle\)CDF …③
①②③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ABE \(\equiv\) \(\triangle\)CDF
よって AE \(=\) CF
(25) \(\angle\)XOY の二等分線上の点 P から、辺 OX、OY に垂線 PA、PB を引く。PA \(=\) PB であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)POA と \(\triangle\)POB で、
仮定より \(\angle\)PAO \(= \angle\)PBO \(= 90°\) …①、\(\angle\)POA \(= \angle\)POB …②
共通な辺なので OP \(=\) OP …③
①②③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)POA \(\equiv\) \(\triangle\)POB
よって PA \(=\) PB
発展¶
(26) AB \(=\) AC の二等辺三角形 ABC の辺 AC 上に点 D があり、AD \(=\) BD \(=\) BC である。\(\angle\)A を求めよ。
解答
\(\angle\)A \(= x\) とする。
AD \(=\) BD より \(\angle\)ABD \(= x\)。外角の性質より \(\angle\)BDC \(= 2x\)
BD \(=\) BC より \(\angle\)BCD \(= \angle\)BDC \(= 2x\)
AB \(=\) AC より \(\angle\)ABC \(= \angle\)ACB \(= 2x\)
\(\triangle\)ABC で \(x + 2x + 2x = 180°\) より \(x = 36°\)
(27) 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とする。対角線 AC 上に、AE \(=\) CF となる点 E、F をとる。四角形 EBFD が平行四辺形であることを証明せよ。
解答
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので OA \(=\) OC …①、OB \(=\) OD …②
仮定より AE \(=\) CF …③
①③より OE \(=\) OA \(-\) AE \(=\) OC \(-\) CF \(=\) OF …④
②④より、四角形 EBFD は対角線がそれぞれの中点で交わるので、平行四辺形である。
(28) 長方形 ABCD を、対角線 BD を折り目として折り返し、点 C が移った点を C\('\) とする。BC\('\) と辺 AD の交点を E とするとき、\(\triangle\)EBD が二等辺三角形であることを証明せよ。
解答
折り返したので \(\angle\)EBD \(= \angle\)CBD …①
AD \(\parallel\) BC より錯角が等しいので \(\angle\)EDB \(= \angle\)CBD …②
①②より \(\angle\)EBD \(= \angle\)EDB
2つの角が等しいので、\(\triangle\)EBD は EB \(=\) ED の二等辺三角形である。
(29) 四角形 ABCD の面積を変えずに、三角形に変形したい。どのように作図すればよいか説明せよ。
解答
- 対角線 AC を引く。
- 点 D を通り AC に平行な直線を引き、辺 BC の延長との交点を E とする。
- \(\triangle\)ABE が求める三角形。
\(\triangle\)ACD と \(\triangle\)ACE は、底辺 AC が共通で、AC \(\parallel\) DE より高さが等しいので面積が等しい。よって 四角形 ABCD \(= \triangle\)ABC \(+ \triangle\)ACD \(= \triangle\)ABC \(+ \triangle\)ACE \(= \triangle\)ABE
(30) 正三角形 ABC の辺 BC 上に点 D をとり、AD を1辺とする正三角形 ADE を、直線 AD について C と同じ側につくる。BD \(=\) CE であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)ABD と \(\triangle\)ACE で、
正三角形の辺なので AB \(=\) AC …①、AD \(=\) AE …②
\(\angle\)BAD \(= 60° - \angle\)DAC、\(\angle\)CAE \(= 60° - \angle\)DAC
よって \(\angle\)BAD \(= \angle\)CAE …③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ABD \(\equiv\) \(\triangle\)ACE
よって BD \(=\) CE