一次関数 練習問題¶
一次関数の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 答え合わせは「解答」を開いて確かめよう。グラフの問題は、ノートに座標平面をかいて確かめるとよい。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
一次関数と変化の割合¶
確認する解説ページ：一次関数の基本
(1) 次の (ア)〜(オ) のうち、\(y\) が \(x\) の一次関数であるものをすべて選べ。
(ア) \(y = 3x - 2\) (イ) \(y = \dfrac{5}{x}\) (ウ) \(y = -x\) (エ) \(y = x^2\)
(オ) 1本 \(50\) 円の鉛筆 \(x\) 本と、\(200\) 円の筆箱を1つ買ったときの代金 \(y\) 円
解答
(ア)、(ウ)、(オ)
(ウ) は比例だが、\(y = ax + b\) で \(b = 0\) の場合なので一次関数にふくまれる。(オ) は \(y = 50x + 200\)
(2) 一次関数 \(y = -2x + 5\) の傾きと切片を答えよ。
解答
傾き \(-2\)、切片 \(5\)
(3) 一次関数 \(y = 3x - 4\) で、\(x\) が \(2\) から \(6\) まで増加したときの \(y\) の増加量と、変化の割合を求めよ。
解答
\(x = 2\) のとき \(y = 2\)、\(x = 6\) のとき \(y = 14\)。\(y\) の増加量は \(12\)
変化の割合 \(= \dfrac{12}{4} = 3\)（傾きと等しい）
(4) 一次関数 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\) で、\(x\) の増加量が \(4\) のときの \(y\) の増加量を求めよ。
解答
（\(y\) の増加量）\(=\)（変化の割合）\(\times\)（\(x\) の増加量）\(= -\dfrac{1}{2} \times 4 = -2\)
(5) 次の一次関数のグラフは、右上がりか右下がりか。
(a) \(y = -3x + 1\) (b) \(y = \dfrac{1}{3}x - 2\)
解答
(a) 傾きが負なので右下がり (b) 傾きが正なので右上がり
グラフのかき方¶
確認する解説ページ：一次関数とグラフ
(6) \(y = \dfrac{2}{3}x - 1\) のグラフをかくとき、通る点を2つ答えよ（座標がともに整数の点）。
解答
切片より \((0,\ -1)\)。\(x = 3\) のとき \(y = 1\) なので \((3,\ 1)\)。この2点を結ぶ。
(7) \(y = -x + 4\) のグラフと \(x\) 軸との交点の座標を求めよ。
解答
\(y = 0\) を代入して \(x = 4\)。\((4,\ 0)\)
(8) 方程式 \(3y = -9\) のグラフはどのような直線か。
解答
\(y = -3\) なので、点 \((0,\ -3)\) を通り、\(x\) 軸に平行な直線
式の決定¶
確認する解説ページ：一次関数の式の決定
(9) 傾きが \(2\) で、点 \((1,\ 5)\) を通る直線の式を求めよ。
解答
\(y = 2x + b\) に代入して \(5 = 2 + b\)、\(b = 3\)。\(y = 2x + 3\)
(10) 傾きが \(-3\)、切片が \(4\) の直線の式を答えよ。
解答
\(y = -3x + 4\)
(11) 2点 \((1,\ 2)\)、\((3,\ 8)\) を通る直線の式を求めよ。
解答
傾き \(= \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3\)。\(y = 3x + b\) に \((1,\ 2)\) を代入して \(b = -1\)
\(y = 3x - 1\)
(12) 変化の割合が \(-2\) で、\(x = 3\) のとき \(y = 1\) である一次関数の式を求めよ。
解答
\(y = -2x + b\) に代入して \(1 = -6 + b\)、\(b = 7\)。\(y = -2x + 7\)
(13) 直線 \(y = 4x - 3\) に平行で、点 \((2,\ 1)\) を通る直線の式を求めよ。
解答
平行なので傾きは \(4\)。\(1 = 8 + b\) より \(b = -7\)。\(y = 4x - 7\)
標準¶
式の決定¶
確認する解説ページ：一次関数の式の決定
(14) 2点 \((-2,\ 7)\)、\((4,\ -2)\) を通る直線の式を求めよ。
解答
傾き \(= \dfrac{-2 - 7}{4 - (-2)} = -\dfrac{3}{2}\)
\(7 = -\dfrac{3}{2} \times (-2) + b\) より \(b = 4\)。\(y = -\dfrac{3}{2}x + 4\)
(15) \(x = -1\) のとき \(y = 6\)、\(x = 3\) のとき \(y = -2\) である一次関数の式を求めよ。
解答
変化の割合 \(= \dfrac{-2 - 6}{3 - (-1)} = -2\)。\(6 = 2 + b\) より \(b = 4\)
\(y = -2x + 4\)
(16) 切片が \(-2\) で、点 \((4,\ 4)\) を通る直線の式を求めよ。
解答
\(y = ax - 2\) に代入して \(4 = 4a - 2\)、\(a = \dfrac{3}{2}\)。\(y = \dfrac{3}{2}x - 2\)
交点・方程式のグラフ・変域¶
確認する解説ページ：一次関数とグラフ
(17) 2直線 \(y = 2x - 1\) と \(y = -x + 5\) の交点の座標を求めよ。
解答
\(2x - 1 = -x + 5\) より \(x = 2\)、\(y = 3\)。\((2,\ 3)\)
(18) 2直線 \(y = \dfrac{1}{2}x + 1\) と \(y = -2x + 6\) の交点の座標を求めよ。
解答
\(\dfrac{1}{2}x + 1 = -2x + 6\)、\(\dfrac{5}{2}x = 5\) より \(x = 2\)、\(y = 2\)。\((2,\ 2)\)
(19) 方程式 \(2x + 3y = 6\) のグラフについて、傾きと切片、\(x\) 軸との交点を答えよ。
解答
\(y\) について解くと \(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\)。傾き \(-\dfrac{2}{3}\)、切片 \(2\)
\(y = 0\) のとき \(x = 3\)。\(x\) 軸との交点は \((3,\ 0)\)
(20) 連立方程式 \(\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\) の解は、2つの方程式のグラフのどこに表れるか。また、その解を求めよ。
解答
2直線の交点の座標が、連立方程式の解になる。
2式をたして \(3x = 9\)、\(x = 3\)、\(y = 1\)。交点 \((3,\ 1)\)
(21) 一次関数 \(y = -2x + 3\) で、\(x\) の変域が \(-1 \leqq x \leqq 2\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = -1\) のとき \(y = 5\)、\(x = 2\) のとき \(y = -1\)。右下がりなので \(-1 \leqq y \leqq 5\)
一次関数の利用¶
確認する解説ページ：一次関数の利用（文章題）
(22) 水が \(15\) L 入った水そうに、毎分 \(5\) L ずつ水を入れる。\(x\) 分後の水の量を \(y\) L とする。\(y\) を \(x\) の式で表し、水の量が \(60\) L になるのは何分後か求めよ。
解答
\(y = 5x + 15\)
\(60 = 5x + 15\) より \(x = 9\)。\(9\) 分後
(23) 長さ \(20\) cm のろうそくに火をつけると、1分ごとに \(0.4\) cm ずつ短くなる。\(x\) 分後のろうそくの長さを \(y\) cm とする。
(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。
(b) ろうそくが燃えつきるのは何分後か。また、\(x\) の変域を答えよ。
解答
(a) \(y = -0.4x + 20\)
(b) \(0 = -0.4x + 20\) より \(x = 50\)。\(50\) 分後。変域は \(0 \leqq x \leqq 50\)
(24) ばねにおもりをつるす。\(20\) g のおもりをつるすとばねの長さは \(14\) cm、\(50\) g のおもりでは \(20\) cm だった。ばねの長さ \(y\) cm は、おもりの重さ \(x\) g の一次関数である。\(y\) を \(x\) の式で表し、おもりをつるさないときのばねの長さを求めよ。
解答
変化の割合 \(= \dfrac{20 - 14}{50 - 20} = 0.2\)。\(14 = 0.2 \times 20 + b\) より \(b = 10\)
\(y = 0.2x + 10\)。おもりなしのときは \(x = 0\) で \(10\) cm
(25) 電話の料金プランがある。A プランは基本料金 \(1000\) 円で通話1分ごとに \(20\) 円、B プランは基本料金 \(2200\) 円で通話1分ごとに \(8\) 円かかる。通話時間が何分より長いと、B プランの方が安くなるか。
解答
通話 \(x\) 分の料金は、A：\(y = 20x + 1000\)、B：\(y = 8x + 2200\)
等しくなるのは \(20x + 1000 = 8x + 2200\) より \(x = 100\)
\(100\) 分より長いと B プランの方が安い（2つのグラフの交点より右側では B のグラフが下にある）。
(26) 兄が家を出て、分速 \(80\) m で駅に向かって歩いた。その \(10\) 分後に、弟が自転車で分速 \(240\) m で同じ道を追いかけた。弟が兄に追いつくのは、兄が家を出てから何分後で、家から何 m の地点か。
解答
兄が家を出てから \(x\) 分後の、家からの道のりを \(y\) m とする。
兄：\(y = 80x\) 弟：\(y = 240(x - 10)\)（\(x \geqq 10\)）
\(80x = 240x - 2400\) より \(x = 15\)、\(y = 1200\)
兄が家を出てから \(15\) 分後、家から \(1200\) m の地点
発展¶
(27) 3点 \(\text{A}(1,\ 3)\)、\(\text{B}(3,\ 7)\)、\(\text{C}(5,\ k)\) が一直線上にあるとき、\(k\) の値を求めよ。
解答
直線 AB は、傾き \(\dfrac{7 - 3}{3 - 1} = 2\)、\(3 = 2 + b\) より \(y = 2x + 1\)
C もこの直線上にあるので \(k = 2 \times 5 + 1 = 11\)
(28) 直線 \(y = -x + 6\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ（1目もり 1 cm）。
解答
\(y\) 軸との交点 \((0,\ 6)\)、\(x\) 軸との交点 \((6,\ 0)\)
面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\)（cm²）
(29) 2直線 \(y = x + 3\)、\(y = -3x + 15\) と \(x\) 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ（1目もり 1 cm）。
解答
2直線の交点：\(x + 3 = -3x + 15\) より \((3,\ 6)\)
\(x\) 軸との交点：\(y = x + 3\) は \((-3,\ 0)\)、\(y = -3x + 15\) は \((5,\ 0)\)
底辺 \(5 - (-3) = 8\)、高さ \(6\)。面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\)（cm²）
(30) 1辺 \(6\) cm の正方形 ABCD がある。点 P は A を出発して、秒速 \(1\) cm で辺 AB、BC 上を C まで動く。P が A を出発してから \(x\) 秒後の三角形 APD の面積を \(y\) cm² とする。
(a) P が辺 AB 上にあるとき（\(0 \leqq x \leqq 6\)）と、辺 BC 上にあるとき（\(6 \leqq x \leqq 12\)）の、\(y\) を \(x\) の式でそれぞれ表せ。
(b) 三角形 APD の面積が \(12\) cm² になるのは何秒後か。
解答
(a) AB 上：底辺 AD \(= 6\)、高さ AP \(= x\)。\(y = \dfrac{1}{2} \times 6 \times x = 3x\)
BC 上：P から AD までの距離はいつも \(6\)。\(y = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\)
(b) BC 上ではいつも \(18\) なので、AB 上で \(3x = 12\)。\(4\) 秒後
(31) 直線 \(y = ax + 2\) が、2点 \(\text{A}(2,\ 6)\)、\(\text{B}(6,\ 2)\) を結ぶ線分 AB と交わるとき、\(a\) の値の範囲を求めよ。
解答
この直線は \(a\) の値にかかわらず点 \((0,\ 2)\) を通る。
A を通るとき \(6 = 2a + 2\) より \(a = 2\)。B を通るとき \(2 = 6a + 2\) より \(a = 0\)
線分 AB と交わるのは、この2つの間にあるとき。\(0 \leqq a \leqq 2\)