一次関数の基本¶

はじめに：1年生の比例からの続き¶

1年生では \(y = ax\) の比例を学びました。一次関数は、そこに決まった数を足したものです。

身近な例で考える¶

例 基本料金 \(200\) 円、\(1\) 分ごとに \(50\) 円かかる駐輪場。

\(x\) が \(1\) 増えるごとに \(y\) は \(50\) ずつ増え、\(x = 0\) のとき \(200\) 円です。式にすると：

\(50\) が傾き、\(200\) が切片です。基本料金のように「最初からある分」が切片になります。

変化の割合¶

一次関数でいちばん大事な考え方です。

具体例で確かめる¶

\(y = 3x + 1\) で調べてみましょう。

• \(x\) が \(0 \to 1\)： \(y\) は \(1 \to 4\) なので \(\dfrac{3}{1} = 3\)
• \(x\) が \(1 \to 3\)： \(y\) は \(4 \to 10\) なので \(\dfrac{6}{2} = 3\)

どこで調べても \(3\) になりました。これが式の \(a = 3\) です。

動かして確かめよう¶

2つの点を指で動かすと、変化の割合と式がその場で変わります。 どこに動かしても、同じ直線上なら変化の割合が変わらないことを確かめてください。

グラフの特徴¶

\(y = ax + b\) のグラフは直線です。

傾き \(a\) の意味¶

\(a\) は「\(x\) が \(1\) 増えると \(y\) がいくつ増えるか」を表します。

• \(a > 0\) … 右上がり
• \(a < 0\) … 右下がり
• \(|a|\) が大きいほど急

\(a = \dfrac{3}{2}\) のときは「\(x\) が \(2\) 増えると \(y\) が \(3\) 増える」と読むと、格子点をたどれて便利です。

切片 \(b\) の意味¶

\(b\) はグラフが \(y\) 軸と交わる点の \(y\) 座標です。\((0,\ b)\) を通ります。

例題¶

例題1¶

\(y = -2x + 5\) について、次に答えなさい。

1. 傾きと切片を答えなさい。
2. \(x = 3\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
3. \(x\) が \(2\) から \(5\) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

例題2¶

次のうち、\(y\) が \(x\) の一次関数であるものをすべて選びなさい。

1. \(y = 4x - 7\)
2. \(y = \dfrac{6}{x}\)
3. \(y = x^2 + 1\)
4. \(y = 8 - 3x\)
5. \(y = 5\)

練習問題¶

問1¶

\(y = \dfrac{1}{2}x - 3\) について答えなさい。

1. 傾きと切片を答えなさい。
2. \(x = 4\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
3. \(y = 0\) のときの \(x\) の値を求めなさい。

問2¶

ある一次関数で、\(x\) が \(1\) から \(4\) まで増加すると \(y\) は \(2\) から \(11\) まで増加しました。変化の割合を求めなさい。

問3¶

水そうに \(5\) L の水が入っています。毎分 \(3\) L ずつ水を入れるとき、\(x\) 分後の水の量を \(y\) L として式を作りなさい。また、\(8\) 分後の水の量を求めなさい。

問4¶

次の表は、ある一次関数の \(x\) と \(y\) の関係です。空欄をうめなさい。

この単元のまとめ¶

• 一次関数は \(y = ax + b\)。\(a\) が傾き、\(b\) が切片
• 変化の割合 \(= \dfrac{y \text{ の増加量}}{x \text{ の増加量}}\) で、一次関数では傾き \(a\) に等しい
• グラフは直線。\((0,\ b)\) から「右へ \(1\)、上へ \(a\)」進んでかく
• 「最初からある分」が切片、「増える割合」が傾き

次は 一次関数の式の決定 で、条件から式を求める練習をします。