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一次関数とグラフ

グラフのかき方

\(y = ax + b\) のグラフは直線なので、2点決まればかけます。

いちばん速いかき方

  1. \(y\) 軸上に \((0,\ b)\) を打つ
  2. そこから右へ \(1\)、上へ \(a\) 進んだ点を打つ
  3. 2点を結んで、両端まで伸ばす

例1：\(y = 2x - 3\)

  1. 切片は \(-3\) なので \((0,\ -3)\) を打つ
  2. 右へ \(1\)、上へ \(2\) 進んで \((1,\ -1)\) を打つ
  3. 結ぶ

例2：\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\)

傾きが分数のときは、分母だけ右へ、分子だけ上下へ進むと格子点に乗ります。

  1. \((0,\ 2)\) を打つ
  2. 右へ \(3\)、下へ \(2\) 進んで \((3,\ 0)\) を打つ
  3. 結ぶ

小数に直さない

\(-\dfrac{2}{3}\) を \(-0.67\) にすると、方眼のどこを通るか分からなくなります。 分数のまま「右へ3、下へ2」と読むのがコツです。

切片と \(x\) 軸との交点

交点 求め方
\(y\) 軸との交点 \(x = 0\) を代入 → \((0,\ b)\)
\(x\) 軸との交点 \(y = 0\) を代入して \(x\) を解く

例 \(y = 2x - 6\) の \(x\) 軸との交点。

\[ 0 = 2x - 6 \quad\Rightarrow\quad x = 3 \]

よって \((3,\ 0)\) で交わります。

2直線の交点

2直線の交点の座標は、2つの式を連立方程式として解いた答えです。

ここが、連立方程式とグラフのつながる大事なところです。

例題

\(y = 2x + 1\) と \(y = -x + 7\) の交点の座標を求めなさい。

解答

どちらも \(y\) なので、右辺どうしを等しいとおきます。

\[ 2x + 1 = -x + 7 \]
\[ 3x = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 2 \]

\(x = 2\) を \(y = 2x + 1\) に代入して

\[ y = 2 \times 2 + 1 = 5 \]

交点は \(\boxed{(2,\ 5)}\)

確かめ もう一方の式でも： \(y = -2 + 7 = 5\) ✓

動かして確かめよう

4つの点を動かして2本の直線を作ると、交点がその場で計算されます。 2直線を平行にすると交点が消えることも確かめてください。連立方程式に解がない場合にあたります。

連立方程式とグラフの関係

3つの場合

グラフ 連立方程式の解
1点で交わる 解が1組
平行（交わらない） 解なし
完全に重なる 解が無数にある

傾きが違えば必ず1点で交わります。傾きが同じときだけ、平行か重なるかになります。

方程式のグラフ

\(ax + by = c\) の形の方程式も、直線のグラフになります。$y = $ の形に直すのが基本です。

例 \(2x + 3y = 6\)

\[ 3y = -2x + 6 \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{2}{3}x + 2 \]

\(x = k\)、\(y = k\) の形

式 グラフ
\(y = 3\) \(x\) 軸に平行な横線
\(x = 2\) \(y\) 軸に平行な縦線

\(x = 2\) は一次関数ではない

\(x = 2\) は縦線なので、\(x\) を1つ決めても \(y\) が1つに決まりません。 グラフは直線ですが、関数ではないので注意してください。

練習問題

問1

次の直線と \(x\) 軸、\(y\) 軸との交点を求めなさい。

  1. \(y = 3x - 6\)
  2. \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\)
解答

(1) \(y\) 軸： \((0,\ -6)\)。\(x\) 軸： \(0 = 3x-6\) より \(x=2\) なので \((2,\ 0)\)

(2) \(y\) 軸： \((0,\ 4)\)。\(x\) 軸： \(0 = -\dfrac{1}{2}x+4\) より \(x=8\) なので \((8,\ 0)\)

問2

次の2直線の交点を求めなさい。

  1. \(y = x + 2\) と \(y = -2x + 8\)
  2. \(y = 3x - 1\) と \(y = 3x + 4\)
解答

(1) \(x + 2 = -2x + 8\) より \(3x = 6\)、\(x = 2\)。\(y = 4\)。交点は \((2,\ 4)\)

(2) 傾きがどちらも \(3\) で平行なので、交点はありません。 （連立方程式にすると \(-1 = 4\) となり、成り立ちません）

問3

\(2x - y = 4\) のグラフをかくために、$y = $ の形に直しなさい。また、傾きと切片を答えなさい。

解答
\[ -y = -2x + 4 \quad\Rightarrow\quad y = 2x - 4 \]

傾き \(2\)、切片 \(-4\)

符号のミスに注意

\(-y\) を \(y\) にするとき、すべての項の符号が変わります。 \(-y = -2x + 4\) の両辺に \(-1\) をかけて \(y = 2x - 4\) です。

問4（応用）

2直線 \(y = 2x\) と \(y = -x + 6\)、および \(x\) 軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。

解答

頂点を3つ求めます。

  • 2直線の交点： \(2x = -x + 6\) より \(x = 2,\ y = 4\) → \((2,\ 4)\)
  • \(y = 2x\) と \(x\) 軸： \((0,\ 0)\)
  • \(y = -x+6\) と \(x\) 軸： \(0 = -x+6\) より \((6,\ 0)\)

底辺は \(x\) 軸上の \((0,0)\) から \((6,0)\) までで \(6\)。 高さは交点の \(y\) 座標で \(4\)。

\[ \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \]

面積は \(12\)

この単元のまとめ

  • グラフは \((0,\ b)\) から「右へ \(1\)、上へ \(a\)」でかく
  • 傾きが分数なら「右へ分母、上へ分子」
  • 2直線の交点 ＝ 連立方程式の解
  • 平行（傾きが同じ）なら交点なし＝解なし
  • \(ax + by = c\) は \(y =\) の形に直す

次は 一次関数の利用 で、文章題に取り組みます。

もっと練習しよう

この分野の問題をもっと解きたいときは、一次関数 練習問題 に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。