角柱と円柱の体積と表面積¶
角柱・円柱とは¶
角柱（かくちゅう）とは
2つの合同な多角形の面（底面）が平行に向き合い、側面がすべて長方形になっている立体。
- 底面の形によって「三角柱」「四角柱」「五角柱」などと呼ぶ
- 底面が正三角形 → 正三角柱、底面が正方形 → 正四角柱（= 直方体）
円柱（えんちゅう）とは
2つの合同な円の面（底面）が平行に向き合い、側面が曲面になっている立体。
円柱は「底面が円の柱」と考えればよい。
各部の名称¶
| 部分 | 説明 |
|---|---|
| 底面（ていめん） | 上下にある合同な面（角柱：多角形、円柱：円） |
| 側面（そくめん） | 上下の底面をつなぐ面（角柱：長方形、円柱：曲面） |
| 底面積（S） | 底面 1 枚の面積 |
| 高さ（h） | 2つの底面の間の距離 |
展開図¶
立体を切り開いて平面に広げた図を展開図という。
三角柱の展開図¶
三角柱の展開図の構成
- 底面：三角形 × 2枚
- 側面：長方形 × 3枚（各辺の長さ × 高さ）
円柱の展開図¶
円柱の展開図の構成
- 底面：円 × 2枚（面積 \(\pi r^2\) ずつ）
- 側面：長方形 × 1枚
- 縦 = 高さ \(h\)
- 横 = 円周の長さ \(2\pi r\)（← ここが重要！）
体積の公式¶
考え方¶
底面を積み重ねると柱の体積になる。
柱体の体積公式
- \(S\)：底面積
- \(h\)：高さ
角柱・円柱どちらも同じ公式。
円柱の底面積¶
円柱の底面は円なので：
よって円柱の体積は：
表面積の公式¶
考え方¶
表面積 = 底面積 × 2 + 側面積
側面積の求め方¶
角柱の側面積：
側面は長方形なので、展開図で「底面の周の長さ × 高さ」になる。
円柱の側面積：
側面を展開すると長方形になる。横の長さ = 底面の円周 \(2\pi r\)。
表面積の公式まとめ
角柱： $\(\boxed{\text{表面積} = S \times 2 + \text{底面の周の長さ} \times h}\)$
円柱： $\(\boxed{\text{表面積} = \pi r^2 \times 2 + 2\pi r \times h}\)$
大きさを変えて確かめよう¶
たて・よこ・高さを動かすと、体積と表面積がその場で変わります。 錐に切り替えると、体積が柱の3分の1になることも確かめられます。
例題¶
例題１ 四角柱（直方体）の体積と表面積¶
縦 \(3\) cm、横 \(4\) cm、高さ \(5\) cm の直方体の体積と表面積を求めよ。
解答
体積：
底面積 \(S = 3 \times 4 = 12\) (cm²)
\(V = 12 \times 5 = 60\) (cm³)
表面積：
底面積 \(S = 12\) cm²（2枚）
側面積：底面の周の長さ \(= (3+4) \times 2 = 14\) cm
側面積 \(= 14 \times 5 = 70\) cm²
表面積 \(= 12 \times 2 + 70 = 24 + 70 = 94\) (cm²)
例題２ 三角柱の体積と表面積¶
底面が底辺 \(6\) cm、高さ \(4\) cm の直角三角形で、三角柱の高さが \(10\) cm のとき、体積と表面積を求めよ。ただし斜辺は \(5\) cm とする。
解答
体積：
底面積（直角三角形）\(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) (cm²)
\(V = 12 \times 10 = 120\) (cm³)
表面積：
底面積 \(S = 12\) cm²（2枚）→ \(12 \times 2 = 24\) cm²
側面は長方形 3 枚（底面の各辺 × 高さ）：
- 底辺 \(6\) cm の面：\(6 \times 10 = 60\) cm²
- 高さ \(4\) cm の面：\(4 \times 10 = 40\) cm²
- 斜辺 \(5\) cm の面：\(5 \times 10 = 50\) cm²
側面積の合計 \(= 60 + 40 + 50 = 150\) cm²
表面積 \(= 24 + 150 = 174\) (cm²)
例題３ 円柱の体積と表面積¶
半径 \(3\) cm、高さ \(8\) cm の円柱の体積と表面積を求めよ。
解答
体積：
\(V = \pi \times 3^2 \times 8 = 9\pi \times 8 = 72\pi\) (cm³)
表面積：
底面積 \(= \pi \times 3^2 = 9\pi\) cm²（2枚）→ \(9\pi \times 2 = 18\pi\) cm²
側面積 \(= 2\pi \times 3 \times 8 = 48\pi\) cm²
表面積 \(= 18\pi + 48\pi = 66\pi\) (cm²)
練習問題¶
(1) 次の立体の体積を求めよ。
(a) 底面が \(1\) 辺 \(5\) cm の正方形で、高さが \(7\) cm の四角柱
(b) 底面が底辺 \(8\) cm、高さ \(6\) cm の三角形で、柱の高さが \(12\) cm の三角柱
(c) 半径 \(4\) cm、高さ \(9\) cm の円柱
解答
(a) \(S = 5 \times 5 = 25\) cm²、\(V = 25 \times 7 = 175\) (cm³)
(b) \(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\) cm²、\(V = 24 \times 12 = 288\) (cm³)
(c) \(V = \pi \times 4^2 \times 9 = 16\pi \times 9 = 144\pi\) (cm³)
(2) 次の立体の表面積を求めよ。
(a) 縦 \(2\) cm、横 \(5\) cm、高さ \(6\) cm の直方体
(b) 半径 \(5\) cm、高さ \(12\) cm の円柱
解答
(a)
底面積 \(S = 2 \times 5 = 10\) cm²（2枚）→ \(10 \times 2 = 20\) cm²
底面の周の長さ \(= (2+5) \times 2 = 14\) cm
側面積 \(= 14 \times 6 = 84\) cm²
表面積 \(= 20 + 84 = 104\) (cm²)
(b)
底面積 \(= \pi \times 5^2 = 25\pi\) cm²（2枚）→ \(25\pi \times 2 = 50\pi\) cm²
側面積 \(= 2\pi \times 5 \times 12 = 120\pi\) cm²
表面積 \(= 50\pi + 120\pi = 170\pi\) (cm²)
(3) 底面の半径が \(6\) cm の円柱がある。体積が \(252\pi\) cm³ のとき、高さを求めよ。
解答
\(V = \pi r^2 h\) に \(V = 252\pi\)、\(r = 6\) を代入。
\(252\pi = \pi \times 36 \times h\)
\(252\pi = 36\pi h\)
\(h = \dfrac{252\pi}{36\pi} = 7\)
答え：高さ \(7\) cm
(4)（発展） 底面が正六角形で、1辺が \(4\) cm、高さが \(10\) cm の六角柱がある。底面の正六角形の面積は \(24\sqrt{3}\) cm² とする。
(a) 体積を求めよ。
(b) 表面積を求めよ。
解答
(a) \(V = 24\sqrt{3} \times 10 = 240\sqrt{3}\) (cm³)
(b)
底面積 \(= 24\sqrt{3}\) cm²（2枚）→ \(48\sqrt{3}\) cm²
正六角形の周の長さ \(= 4 \times 6 = 24\) cm
側面積 \(= 24 \times 10 = 240\) cm²
表面積 \(= 48\sqrt{3} + 240\) (cm²)
まとめ¶
体積の公式
| 立体 | 底面積 S |
|---|---|
| 四角柱（縦 \(a\)、横 \(b\)） | \(S = ab\) |
| 三角柱（底辺 \(a\)、高さ \(b\)） | \(S = \dfrac{1}{2}ab\) |
| 円柱（半径 \(r\)） | \(S = \pi r^2\) |
表面積の公式
| 立体 | 側面積 |
|---|---|
| 角柱 | 底面の周の長さ \(\times h\) |
| 円柱 | \(2\pi r \times h\) |
計算のコツ
- 底面積を先に求める
- 展開図をイメージして側面積を求める
- 円柱の側面積は「円周 × 高さ」を忘れずに
- 答えは \(\pi\) をつけたまま（数値に変換しない）
もっと練習しよう
この分野の問題をもっと解きたいときは、空間図形 練習問題 に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。