空間図形　練習問題¶

弧の長さ：\(2\pi \times 9 \times \dfrac{80}{360} = 4\pi\)（cm）

面積：\(\pi \times 9^2 \times \dfrac{80}{360} = 18\pi\)（cm²）

\(\dfrac{216}{360} = \dfrac{3}{5}\) なので

弧の長さ：\(20\pi \times \dfrac{3}{5} = 12\pi\)（cm）　　面積：\(100\pi \times \dfrac{3}{5} = 60\pi\)（cm²）

円周は \(8\pi\) cm。\(\dfrac{2\pi}{8\pi} = \dfrac{1}{4}\) なので、中心角は \(360° \times \dfrac{1}{4} = 90°\)

円の面積は \(36\pi\) cm²。\(\dfrac{15\pi}{36\pi} = \dfrac{5}{12}\) なので、中心角は \(360° \times \dfrac{5}{12} = 150°\)

中心角の割合は \(\dfrac{6\pi}{16\pi} = \dfrac{3}{8}\)。面積は \(64\pi \times \dfrac{3}{8} = 24\pi\)（cm²）

（\(\dfrac{1}{2} \times\) 弧の長さ \(\times\) 半径 \(= \dfrac{1}{2} \times 6\pi \times 8 = 24\pi\) でも求められる）

辺 CG、DH、EH、FG

（AB と平行な辺 DC、EF、HG、AB と交わる辺 AD、BC、AE、BF を除いた残り）

辺 EF、FG、GH、HE

面 ABCD、面 EFGH

面 ABCD、面 EFGH、面 AEHD、面 BFGC

体積：\(25 \times 8 = 200\)（cm³）

表面積：底面 \(25 \times 2 = 50\)、側面 \(5 \times 8 \times 4 = 160\)。合わせて \(210\) cm²

体積：\(9\pi \times 7 = 63\pi\)（cm³）

表面積：底面 \(9\pi \times 2 = 18\pi\)、側面 \(6\pi \times 7 = 42\pi\)。合わせて \(60\pi\) cm²

底面積は \(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)（cm²）

体積：\(6 \times 10 = 60\)（cm³）

表面積：底面 \(6 \times 2 = 12\)、側面 \((3 + 4 + 5) \times 10 = 120\)。合わせて \(132\) cm²

\(\dfrac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60\)（cm³）

\(\dfrac{1}{3} \times 9\pi \times 8 = 24\pi\)（cm³）

底面 \(16\)、側面 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times 6 \times 4 = 48\)。合わせて \(64\) cm²

(a) 扇形の弧の長さは底面の円周 \(8\pi\) cm。半径 \(10\) cm の円の円周は \(20\pi\) cm なので

中心角 \(= 360° \times \dfrac{8\pi}{20\pi} = 144°\)

(b) 側面積 \(= 100\pi \times \dfrac{144}{360} = 40\pi\)、底面積 \(16\pi\)。合わせて \(56\pi\) cm²

中心角 \(= 360° \times \dfrac{3}{12} = 90°\)

側面積 \(= 144\pi \times \dfrac{1}{4} = 36\pi\)、底面積 \(9\pi\)。表面積は \(45\pi\) cm²

弧の長さは \(18\pi \times \dfrac{120}{360} = 6\pi\)（cm）。これが底面の円周なので、半径は \(3\) cm

\(\dfrac{1}{3} \times 25\pi \times h = 50\pi\) より \(h = 6\)（cm）

横の長さ \(8\pi\) が底面の円周なので、底面の半径は \(4\) cm。高さは \(5\) cm。

体積：\(16\pi \times 5 = 80\pi\)（cm³）

表面積：側面 \(5 \times 8\pi = 40\pi\)、底面 \(16\pi \times 2 = 32\pi\)。合わせて \(72\pi\) cm²

底面積 \(= \dfrac{1}{2} \times (3 + 7) \times 4 = 20\)（cm²）。体積 \(= 20 \times 10 = 200\)（cm³）

\(4 \times 4 \times 4 = 64\) なので1辺は \(4\) cm。表面積は \(16 \times 6 = 96\)（cm²）

円錐の体積は、底面と高さが同じ円柱の \(\dfrac{1}{3}\) なので、\(3\) 杯

辺 AD、EH、AE、DH

(ア) 正しくない。例：辺 EF と辺 FG はどちらも面 ABCD に平行だが、交わっている。

(イ) 正しい。例：辺 AE に垂直な面 ABCD と面 EFGH は平行。

(ウ) 正しくない。例：辺 AB と辺 AD はどちらも辺 AE に垂直だが、交わっている。（ねじれの位置になる場合もある）

母線の長さを \(\ell\) とすると、\(360° \times \dfrac{4}{\ell} = 240°\) より \(\ell = 6\)（cm）

側面積 \(= 36\pi \times \dfrac{240}{360} = 24\pi\)（cm²）

三角錐は、底面が直角二等辺三角形 ABD（面積 \(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\)）、高さ AE \(= 6\)

三角錐の体積 \(= \dfrac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36\)（cm³）

残りは \(216 - 36 = 180\)（cm³）

体積：円柱 \(9\pi \times 5 = 45\pi\)、円錐 \(\dfrac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi\)。合わせて \(57\pi\) cm³

表面積：円柱の下の底面 \(9\pi\)、円柱の側面 \(6\pi \times 5 = 30\pi\)、円錐の側面 \(25\pi \times \dfrac{3}{5} = 15\pi\)

合わせて \(54\pi\) cm²（円柱の上の面と円錐の底面は、くっついていて表面に出ない）

\(25\pi \times 10 - 4\pi \times 10 = 250\pi - 40\pi = 210\pi\)（cm³）

半径 \(6\) cm、中心角 \(60°\) の扇形の面積は \(36\pi \times \dfrac{1}{6} = 6\pi\)（cm²）

半径 \(3\) cm の円の面積は \(9\pi\) なので、\(360° \times \dfrac{6\pi}{9\pi} = 240°\)