度数分布とヒストグラム¶

たくさんのデータを整理する¶

\(30\) 人分のテストの点数が並んでいても、そのままでは特徴が分かりません。 いくつかの区間に分けて数えると、全体の様子が見えてきます。

用語

用語	意味
階級	データを分ける区間（例：\(50\) 点以上 \(60\) 点未満）
階級の幅	区間の広さ（上の例では \(10\)）
階級値	階級のまん中の値（上の例では \(55\)）
度数	その階級に入るデータの個数
度数分布表	階級と度数をまとめた表

階級は「以上〜未満」

\(50\) 以上 \(60\) 未満の階級に、\(60\) は入りません。\(60\) は次の階級に入ります。境目の値をどちらに入れるか迷ったら、「以上のほうに入る」と覚えましょう。

度数分布表の作り方¶

例 15人の握力（kg）

\[ 28,\ 31,\ 25,\ 36,\ 33,\ 29,\ 35,\ 22,\ 34,\ 27,\ 32,\ 30,\ 38,\ 26,\ 34 \]

階級の幅を \(5\) kg にして表を作ります。

階級（kg）	階級値	度数（人）
\(20\) 以上 \(25\) 未満	\(22.5\)	\(1\)
\(25\) 以上 \(30\) 未満	\(27.5\)	\(4\)
\(30\) 以上 \(35\) 未満	\(32.5\)	\(6\)
\(35\) 以上 \(40\) 未満	\(37.5\)	\(4\)
合計		\(15\)

作ったら必ず合計を確認

度数の合計が、もとのデータの個数と一致するか確かめましょう。合わなければ、どこかで数え落としか二重数えがあります。

相対度数と累積度数¶

相対度数

\[ \boxed{\text{相対度数} = \frac{\text{その階級の度数}}{\text{度数の合計}}} \]

全体の中でどれくらいの割合かを表します。合計すると \(1\) になります。

個数が違うグループを比べるときに使います。

例 A組 \(30\) 人中 \(12\) 人、B組 \(40\) 人中 \(14\) 人。人数ではA組が少ないですが、割合は

\[ \text{A組} = \frac{12}{30} = 0.4, \qquad \text{B組} = \frac{14}{40} = 0.35 \]

A組のほうが割合は大きいと分かります。

累積度数

その階級までの度数を足していった値です。「\(30\) kg 未満は何人か」といった問いに答えられます。

ヒストグラム¶

度数分布表を柱状のグラフにしたものです。

棒グラフとの違い

ヒストグラム … 柱と柱の間をあけない（階級が連続しているため）
棒グラフ … 間をあける（項目がばらばらのため）

作って確かめよう¶

データを入れて階級の幅を動かすと、表とヒストグラムがその場で変わります。 同じデータでも、階級の幅で山の形が変わることを確かめてください。

代表値¶

データ全体を1つの数で表したものを代表値といいます。

3つの代表値

代表値	求め方
平均値	合計 ÷ 個数
中央値（メジアン）	小さい順に並べたときのまん中の値
最頻値（モード）	いちばん多く出てくる値

中央値の求め方¶

奇数個 … ちょうどまん中の値
偶数個 … まん中の2つの平均

例 \(3, 5, 8, 9, 12\)（5個）→ 中央値は \(8\) 例 \(3, 5, 8, 9\)（4個）→ 中央値は \(\dfrac{5+8}{2} = 6.5\)

度数分布表からの求め方¶

代表値	表からの求め方
平均値	\(\dfrac{(\text{階級値} \times \text{度数}) \text{の合計}}{\text{度数の合計}}\)
最頻値	度数がいちばん多い階級の階級値

表から求めた平均は「およその値」

表から求めるときは、その階級のデータをすべて階級値とみなして計算します。そのため、もとのデータから求めた平均とは少しずれます。ラボで両方の値を見比べてみてください。

どの代表値を使うか¶

極端な値があるときは中央値

\(5\) 人の所持金が \(100,\ 200,\ 300,\ 400,\ 10000\) 円のとき

平均値 … \(2200\) 円
中央値 … \(300\) 円

\(1\) 人だけ極端に多いため、平均値は実態とかけはなれます。こういうときは中央値のほうが「ふつう」を表します。

範囲¶

範囲（レンジ）

\[ \boxed{\text{範囲} = \text{最大値} - \text{最小値}} \]

データの散らばりの大きさを表す、いちばん簡単な方法です。

練習問題¶

問1¶

次のデータについて、階級の幅を \(10\) として度数分布表を作りなさい。

\[ 23,\ 45,\ 38,\ 12,\ 29,\ 41,\ 35,\ 18,\ 27,\ 33 \]

解答

階級	階級値	度数
\(10\) 以上 \(20\) 未満	\(15\)	\(2\)
\(20\) 以上 \(30\) 未満	\(25\)	\(3\)
\(30\) 以上 \(40\) 未満	\(35\)	\(3\)
\(40\) 以上 \(50\) 未満	\(45\)	\(2\)
合計		\(10\)

（\(12, 18\)／\(23, 27, 29\)／\(33, 35, 38\)／\(41, 45\)）

問2¶

問1のデータについて、次を求めなさい。

範囲
中央値
\(30\) 未満の累積度数と、その相対度数

解答

(1) 最大 \(45\)、最小 \(12\) なので

\[ 45 - 12 = 33 \]

(2) 小さい順に並べると \(12, 18, 23, 27, 29, 33, 35, 38, 41, 45\)

\(10\) 個（偶数）なので、5番目と6番目の平均：

\[ \frac{29 + 33}{2} = 31 \]

(3) \(30\) 未満は \(2 + 3 = 5\) 人。相対度数は

\[ \frac{5}{10} = 0.5 \]

問3¶

次の度数分布表について答えなさい。

階級（点）	階級値	度数（人）
\(40\) 以上 \(50\) 未満	\(45\)	\(3\)
\(50\) 以上 \(60\) 未満	\(55\)	\(7\)
\(60\) 以上 \(70\) 未満	\(65\)	\(8\)
\(70\) 以上 \(80\) 未満	\(75\)	\(2\)

最頻値を答えなさい。
この表から平均値を求めなさい。

解答

(1) 度数がいちばん多いのは \(60\) 以上 \(70\) 未満（\(8\) 人）なので、最頻値はその階級値で \(65\) 点

(2) （階級値 × 度数）の合計を、度数の合計で割ります。

\[ 45 \times 3 + 55 \times 7 + 65 \times 8 + 75 \times 2 = 135 + 385 + 520 + 150 = 1190 \]

度数の合計は \(3+7+8+2 = 20\) なので

\[ \frac{1190}{20} = 59.5 \text{ 点} \]

問4（応用）¶

A組（\(25\) 人）とB組（\(40\) 人）で、\(60\) 点以上の人数はA組が \(10\) 人、B組が \(14\) 人でした。 \(60\) 点以上の割合が高いのはどちらですか。

解答

人数だけ見るとB組のほうが多いですが、人数が違うので相対度数で比べます。

\[ \text{A組} = \frac{10}{25} = 0.4, \qquad \text{B組} = \frac{14}{40} = 0.35 \]

割合が高いのは A組です。

人数が違うときは必ず割合で

「多い・少ない」を人数だけで比べると判断をまちがえます。全体の人数が違うときは、相対度数（割合）で比べましょう。

この単元のまとめ¶

階級は「以上〜未満」。境目の値は以上のほうに入る
度数の合計は、もとのデータの個数と一致する
相対度数 \(=\) 度数 ÷ 合計。人数が違うグループを比べるときに使う
ヒストグラムは柱の間をあけない
代表値は平均値・中央値・最頻値。極端な値があるときは中央値
表から求めた平均は、階級値を使うためおよその値

2年生では確率、3年生では標本調査へつながります。

もっと練習しよう

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