実数と平方根¶

中学までに使ってきた数を整理し、実数という1つの世界にまとめます。あわせて、数直線で考える道具である絶対値を身につけます。

1. 数の分類¶

実数＝有理数＋無理数。分数で表せるかどうかが分かれ目です。

用語	意味
自然数	$1,2,3,\dots$
整数	自然数、$0$、負の整数
有理数	$\dfrac{m}{n}$（$m,n$ は整数、$n\neq0$）と表せる数
無理数	分数で表せない数。$\sqrt2$、$\pi$ など
実数	有理数と無理数を合わせた数

小数で見分ける

有理数 → 有限小数か循環小数になる
無理数 → 循環しない無限小数になる

循環小数を分数に直す¶

$0.\dot{2}\dot{7}=0.272727\dots$ を分数にします。$x=0.272727\dots$ とおくと、

\[100x=27.272727\dots,\qquad 100x-x=27\]

\[99x=27\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\]

循環する桁数だけ10倍して引くのがコツです。

例題1¶

$0.\dot{1}\dot{8}$ を分数で表しなさい。

解説

$x=0.181818\dots$ とおくと $100x-x=18$。

\[99x=18\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}\]

2. 絶対値は「原点からの距離」¶

絶対値の定義

\[|a|=\begin{cases} a & (a\geqq 0) \\ -a & (a<0)\end{cases}\]

$|a|$ は数直線上で $a$ と原点 $0$ の距離です。距離なので必ず $0$ 以上になります。

\[|5|=5,\qquad |-5|=5,\qquad |0|=0\]

$-a$ は負の数ではない

$a=-5$ のとき $-a=5$ です。$|a|=-a$ という式は「マイナスをつける」ではなく「符号を反転して正にする」という意味です。

2数の距離¶

\[|a-b| = a\text{ と }b\text{ の距離}\]

たとえば $|x-3|$ は「$x$ と $3$ の距離」。この読み方ができると、絶対値を含む方程式・不等式が図で解けます。

下のラボで中心 $a$ と距離 $r$ を動かし、$|x-a|$ の意味を確かめましょう。

例題2¶

$|x-2|=5$ を満たす $x$ を求めなさい。

解説

「$x$ と $2$ の距離が $5$」なので、$2$ から左右に $5$ ずつ進んだ点です。

\[x=2+5=7,\qquad x=2-5=-3\]

式で書くなら $x-2=\pm5$ から $x=7,\,-3$。

3. 平方根と根号¶

$a\geqq0$ のとき、2乗して $a$ になる数のうち正のほうを $\sqrt{a}$ と書きます。

根号の性質（$a,b>0$）

\[(\sqrt{a})^2=a,\qquad \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\]

\[\sqrt{a^2}=|a| \quad(\text{$a$ の符号は問わない})\]

$\sqrt{a^2}=a$ は誤り

$a=-3$ のとき $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=|-3|$ です。$a$ が負かもしれない場面では、必ず $|a|$ と書きます。

例題3¶

$a<0$ のとき、$\sqrt{a^2}+|a|$ を簡単にしなさい。

解説

$\sqrt{a^2}=|a|$ であり、$a<0$ なので $|a|=-a$。

\[\sqrt{a^2}+|a|=|a|+|a|=2|a|=-2a\]

$a$ は負なので $-2a$ は正の数です。

4. 分母の有理化¶

分母に根号が残らない形に直すことを有理化といいます。

\[\frac{1}{\sqrt3}=\frac{1\times\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

分母が2項のときは、$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使います。

\[\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}\]

例題4¶

$\dfrac{3}{2-\sqrt3}$ を有理化しなさい。

解説

分母・分子に $2+\sqrt3$ をかけます。

\[\frac{3(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\frac{3(2+\sqrt3)}{4-3}=3(2+\sqrt3)=6+3\sqrt3\]

5. 整数部分と小数部分¶

$\sqrt{a}$ の整数部分を $n$ とすると、小数部分は $\sqrt{a}-n$ です。

\[1^2=1<2<4=2^2 \quad\Longrightarrow\quad 1<\sqrt2<2\]

なので $\sqrt2$ の整数部分は $1$、小数部分は $\sqrt2-1$。

例題5¶

$\sqrt{7}$ の整数部分 $a$、小数部分 $b$ を求め、$b^2+2b$ の値を求めなさい。

解説

$2^2=4<7<9=3^2$ より $2<\sqrt7<3$。よって $a=2$、$b=\sqrt7-2$。

\[b^2+2b=(\sqrt7-2)^2+2(\sqrt7-2)=(7-4\sqrt7+4)+(2\sqrt7-4)=7-2\sqrt7\]

6. 二重根号（発展）¶

\[\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}\quad(m+n=a,\ mn=b,\ m>n)\]

「たして $a$、かけて $b$」の2数を探す、という因数分解と同じ発想です。

\[\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\qquad(3+2=5,\ 3\times2=6)\]

練習問題¶

$0.\dot{4}\dot{5}$ を分数で表しなさい。
$|-7|+|3-5|$ を計算しなさい。
$x<3$ のとき $|x-3|$ を絶対値記号を使わずに表しなさい。
$\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{12}$ を計算しなさい。
$\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3-1}$ を有理化しなさい。
$x=\dfrac{1}{\sqrt5-2}$ のとき、$x$ を有理化し、$x^2-4x$ の値を求めなさい。
$\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ を簡単にしなさい。

答えと解説

1. $x=0.454545\dots$ とおくと $99x=45$。$\;x=\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}$

2. $|-7|=7$、$|3-5|=|-2|=2$。$\;7+2=9$

3. $x-3<0$ なので $|x-3|=-(x-3)=3-x$。

4. $4\sqrt3-3\sqrt3+2\sqrt3=3\sqrt3$

5. 分母・分子に $\sqrt3+1$ をかけます。

\[\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{3-1}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\]

6. $x=\dfrac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}=\dfrac{\sqrt5+2}{1}=\sqrt5+2$。

\[x^2-4x=(\sqrt5+2)^2-4(\sqrt5+2)=(9+4\sqrt5)-(4\sqrt5+8)=1\]

7. $9-2\sqrt{14}$ で、たして $9$・かけて $14$ の2数は $7$ と $2$。

\[\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt7-\sqrt2\quad(\text{大きいほうから引く})\]

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4. 一次不等式 — 絶対値と数直線を使って、範囲で答えを表す

用語	意味
自然数	\(1,2,3,\dots\)
整数	自然数、\(0\)、負の整数
有理数	\(\dfrac{m}{n}\)（\(m,n\) は整数、\(n\neq0\)）と表せる数
無理数	分数で表せない数。\(\sqrt2\)、\(\pi\) など
実数	有理数と無理数を合わせた数