定理１：内角二等分線の定理¶

定理の内容¶

$\triangle ABC$ において、角 $A$ の内角の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、次が成り立つ。

\[ BD : DC = AB : AC \]

つまり、角の二等分線は、対辺をその両端からの２辺の比に内分する。

図で確認しよう¶

        A
       / \
      /   \
     /     \
    B---D---C

$AD$ は $\angle BAC$ の二等分線
$D$ は辺 $BC$ 上の点
$BD : DC = AB : AC$

証明¶

点 $C$ を通り $AD$ に平行な直線を引き、直線 $AB$ の延長との交点を $E$ とする。

ステップ①：$CE \parallel AD$ より、同位角・錯角の関係を使う

$CE \parallel AD$ なので、

\[ \angle BAD = \angle AEC \quad \text{（同位角）} \]

\[ \angle DAC = \angle ACE \quad \text{（錯角）} \]

ステップ②：$AD$ は $\angle BAC$ の二等分線なので

\[ \angle BAD = \angle DAC \]

よって、

\[ \angle AEC = \angle ACE \]

これは $\triangle ACE$ が 二等辺三角形 であることを意味するから、

\[ AE = AC \]

ステップ③：平行線と比の定理を適用する

$\triangle BCE$ において $AD \parallel CE$ なので、

\[ BD : DC = BA : AE \]

ステップ②より $AE = AC$ だから、

\[ BD : DC = AB : AC \qquad \blacksquare \]

ポイントまとめ¶

内角二等分線の定理

$\triangle ABC$ で $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とすると、 $$ BD : DC = AB : AC $$

使い方のコツ

辺の長さの比が求まれば、点 $D$ の位置を特定できる。
逆に $BD : DC = AB : AC$ が成り立てば、$AD$ は $\angle A$ の二等分線であることも言える（逆も成立）。

例題¶

例題１¶

$\triangle ABC$ において、$AB = 6$、$AC = 4$、$BC = 5$ とする。
$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ と $DC$ の長さを求めよ。

解答

内角二等分線の定理より、 $$ BD : DC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2 $$ $BC = 5$ なので、 $$ BD = 5 \times \frac{3}{5} = 3, \quad DC = 5 \times \frac{2}{5} = 2 $$ 答え：$BD = 3$、$DC = 2$

例題２¶

$\triangle ABC$ において、$AB = 8$、$AC = 6$、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD : DC$ を求めよ。

解答

内角二等分線の定理より、 $$ BD : DC = AB : AC = 8 : 6 = 4 : 3 $$ 答え：$BD : DC = 4 : 3$

練習問題¶

問１¶

$\triangle ABC$ において、$AB = 10$、$AC = 6$、$BC = 8$ とする。
$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ の長さを求めよ。

解答

内角二等分線の定理より、 $$ BD : DC = AB : AC = 10 : 6 = 5 : 3 $$ $BC = 8$ なので、 $$ BD = 8 \times \frac{5}{8} = 5 $$ 答え：$BD = 5$

問２¶

$\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。
$BD = 4$、$DC = 3$、$AC = 6$ のとき、$AB$ の長さを求めよ。

解答

内角二等分線の定理より、 $$ BD : DC = AB : AC $$ $$ 4 : 3 = AB : 6 $$ $$ AB = 6 \times \frac{4}{3} = 8 $$ 答え：$AB = 8$

問３（発展）¶

$\triangle ABC$ において、$AB = 5$、$BC = 7$、$CA = 4$ とする。
$\angle B$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $E$ とするとき、$AE$ の長さを求めよ。

解答

$\angle B$ の二等分線と辺 $AC$ の交点 $E$ について、内角二等分線の定理より、 $$ AE : EC = AB : BC = 5 : 7 $$ $AC = 4$ なので、 $$ AE = 4 \times \frac{5}{12} = \frac{5}{3} $$ 答え：$AE = \dfrac{5}{3}$