二次不等式¶
二次不等式は、グラフをかいてから読むのが正攻法です。符号だけで考えようとすると必ず迷いますが、「\(x\) 軸より上か下か」に言いかえれば、答えは図から一目で決まります。
1. 考え方は 3 ステップ¶
二次不等式の手順
- \(x^2\) の係数を正にする（負なら両辺に \(-1\) をかけ、不等号の向きを変える）
- \(=0\) とおいて解く（＝グラフと \(x\) 軸の交点を求める）
- グラフのどちら側かを見て、範囲を答える
\(x^2\) の係数が正（下に凸）のとき、交点を \(\alpha<\beta\) とすると
| 不等式 | 意味 | 解 |
|---|---|---|
| \(ax^2+bx+c>0\) | \(x\) 軸より上 | \(x<\alpha\) または \(x>\beta\)（外側） |
| \(ax^2+bx+c<0\) | \(x\) 軸より下 | \(\alpha<x<\beta\)（内側） |
「大なりは外、小なりは内」
下に凸のグラフは、両はしが上がって、まん中がへこむ形。 だから \(>0\) は外側、\(<0\) は内側です。図を 1 つ思い浮かべれば、公式を覚える必要はありません。
下のラボで不等号を切りかえると、条件を満たす部分が太線と帯で表示されます。\(a\) を負にしたときに答えがどう変わるかも確かめましょう。
例題1¶
\(x^2-x-6>0\) を解きなさい。
解説
\(x^2-x-6=(x+2)(x-3)=0\) より交点は \(x=-2,\,3\)。
下に凸で \(>0\)（\(x\) 軸より上）なので外側。
「\(x<-2\) または \(3<x\)」という意味です。「\(3<x<-2\)」とは絶対に書きません（そんな数はありません）。
例題2¶
\(x^2-4x+3 \leqq 0\) を解きなさい。
解説
\((x-1)(x-3)=0\) より \(x=1,\,3\)。\(\leqq 0\)（\(x\) 軸より下または \(x\) 軸上）なので内側で、等号があるので端も含みます。
例題3¶
\(-x^2+2x+3>0\) を解きなさい。
解説
\(x^2\) の係数が負なので、両辺に \(-1\) をかけて不等号の向きを変えます。
\((x+1)(x-3)<0\) より \(x=-1,\,3\) が交点。内側なので
不等号の向きを変え忘れると、正反対の答えになります。
2. \(D \leqq 0\) のときの特別な答え¶
交点が 1 個以下のときは、答えが「すべての実数」か「解なし」などになります（\(x^2\) の係数は正とします）。
| \(D\) | \(>0\) を解く | \(\geqq 0\) | \(<0\) | \(\leqq 0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(D=0\)（重解 \(\alpha\)） | \(x \neq \alpha\) のすべて | すべての実数 | 解なし | \(x=\alpha\) のみ |
| \(D<0\) | すべての実数 | すべての実数 | 解なし | 解なし |
「解なし」を空欄にしない
\(x^2+1<0\) のように、\(D<0\) で下に凸なら、グラフはつねに \(x\) 軸より上。 したがって \(<0\) の解は存在しません。答案には「解なし」とはっきり書きます。
例題4¶
\(x^2-6x+9>0\) を解きなさい。
解説
\(x^2-6x+9=(x-3)^2\) で、\(D=0\)。\((x-3)^2\) は \(x=3\) のときだけ \(0\)、それ以外では正です。
よって解は \(x \neq 3\) であるすべての実数。
例題5¶
\(x^2-2x+5<0\) を解きなさい。
解説
\(D=4-20=-16<0\) で下に凸なので、グラフは \(x\) 軸より上にあります。 実際 \(x^2-2x+5=(x-1)^2+4 \geqq 4>0\)。
したがって解なし。
3. 連立不等式¶
それぞれを解いてから、数直線で共通部分をとります。
例題6¶
連立不等式 \(\begin{cases} x^2-x-6<0 \\ x^2-4x+3>0 \end{cases}\) を解きなさい。
解説
- \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)<0\) より \(-2<x<3\)
- \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\) より \(x<1\) または \(3<x\)
数直線で重なる部分をとると
\(3<x\) の部分は 1 つ目の条件（\(x<3\)）と重ならないので消えます。
4. つねに成り立つ条件¶
「すべての実数 \(x\) で \(ax^2+bx+c>0\)」は、下に凸かつ \(x\) 軸と交わらないということ。
すべての \(x\) で成り立つ条件
例題7¶
すべての実数 \(x\) について \(x^2+mx+4>0\) が成り立つような \(m\) の範囲を求めなさい。
解説
\(x^2\) の係数は \(1>0\) なので、あとは \(D<0\) であればよい。
練習問題¶
- \(x^2-3x-10>0\) を解きなさい。
- \(x^2+2x-8 \leqq 0\) を解きなさい。
- \(-x^2+x+6 \geqq 0\) を解きなさい。
- \(x^2-2x+3>0\) を解きなさい。
- \(x^2+4x+4 \leqq 0\) を解きなさい。
- 連立不等式 \(\begin{cases} x^2-4<0 \\ x^2-x-2>0 \end{cases}\) を解きなさい。
- すべての実数 \(x\) について \(x^2-2mx+m+2>0\) が成り立つような \(m\) の範囲を求めなさい。
答えと解説
1. \((x+2)(x-5)>0\) より \(x<-2,\ 5<x\)（外側）。
2. \((x+4)(x-2) \leqq 0\) より \(-4 \leqq x \leqq 2\)（内側、端を含む）。
3. 両辺に \(-1\) をかけて \(x^2-x-6 \leqq 0\)。\((x+2)(x-3) \leqq 0\) より \(-2 \leqq x \leqq 3\)。
4. \(D=4-12=-8<0\) で下に凸なので、つねに正。答えはすべての実数。
5. \((x+2)^2 \leqq 0\) となるのは \((x+2)^2=0\) のときだけなので \(x=-2\)。
6. \(x^2-4<0\) より \(-2<x<2\)。\(x^2-x-2=(x+1)(x-2)>0\) より \(x<-1\) または \(2<x\)。 共通部分は \(-2<x<-1\)。
7. \(D=(-2m)^2-4(m+2)=4m^2-4m-8<0\)。両辺を \(4\) で割って \(m^2-m-2<0\)、 \((m+1)(m-2)<0\) より \(\boldsymbol{-1<m<2}\)。
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