二次関数¶
数学I の中心となる単元です。平方完成して頂点を出すという1つの技術が、グラフ・最大最小・方程式・不等式のすべての入口になります。逆に、ここで手を抜くと後半がすべて苦しくなります。
この単元で学ぶこと¶
| ページ | 学べること |
|---|---|
| 1. 二次関数のグラフ | 放物線・頂点・軸、\(y=ax^2\) の形、平行移動、平方完成 |
| 2. 最大値と最小値 | 定義域つきの最大最小、頂点が範囲の内か外か、文章題、おきかえ |
| 3. 二次方程式と判別式 | 因数分解と解の公式、判別式 \(D\)、共有点の個数、接する条件 |
| 4. 二次不等式 | グラフから解を読む、\(D \leqq 0\) の特別な場合、連立、つねに成り立つ条件 |
動かして学ぶ¶
- 二次関数ラボ — 4つのモードで、係数を動かしながら二次関数のふるまいを確かめられます
| モード | 見えること |
|---|---|
| 平方完成 | 平方完成の途中式と頂点。\(y=ax^2\) からの平行移動が矢印で表示されます |
| 最大・最小 | 定義域の帯を動かすと、最大・最小の位置が端と頂点のあいだで飛びうつります |
| 判別式 | \(D\) の値と共有点の個数。解は根号のまま表示されます |
| 二次不等式 | 不等号を満たす部分が太線と帯でハイライトされます |
全体の地図¶
flowchart TD
A["y = ax² + bx + c"] --> B["平方完成<br/>y = a(x − p)² + q"]
B --> C["頂点 (p, q)・軸 x = p"]
C --> D["グラフがかける"]
D --> E["定義域つきの<br/>最大・最小"]
D --> F["x軸との共有点<br/>= 二次方程式の解"]
F --> G["判別式 D = b² − 4ac"]
F --> H["二次不等式<br/>（上か下かを読む）"]つまずきやすいポイント¶
この単元でよく出る失敗
- 平方完成でくくった数を掛け忘れる：\(2(x^2-4x)\) から出てくるのは \(-4\) ではなく \(-8\)。
- 頂点の符号を読み違える：\(y=(x+3)^2\) の頂点は \((-3,\,0)\)。かっこの中が \(0\) になる \(x\)。
- 定義域を無視して頂点で答える：頂点が範囲の外なら、答えは端にうつります。
- 「最大値なし」と書けない：下に凸で範囲に制限がなければ、最大値は存在しません。
- 不等式で \(-1\) をかけて向きを変え忘れる：\(x^2\) の係数を正にするときの定番ミス。
- \(>0\) の解を \(\alpha<x<\beta\) と書く：下に凸のとき \(>0\) は外側です。