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二項定理

この単元で学ぶこと

\((a+b)^n\) を展開するとき、\(n\) が大きいと地道に掛け算するのは大変です。
二項定理を使えば、どんな \(n\) に対しても展開の各項の係数をすばやく求められます。

ステップ０：まず手を動かして確認しよう

小さい \(n\) の場合を実際に展開して、係数のパターンを観察しましょう。

\[ (a+b)^1 = a + b \]
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
\[ (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \]

各展開式の係数だけを取り出して三角形に並べると、次のような規則的な図が現れます。

n=0:          1
n=1:        1   1
n=2:      1   2   1
n=3:    1   3   3   1
n=4:  1   4   6   4   1

これをパスカルの三角形といいます。各数は左上と右上の数の和になっています。

パスカルの三角形の規則

各数 \(=\) 左上の数 \(+\) 右上の数

しかし「\(n=10\) のとき」など \(n\) が大きくなると、パスカルの三角形を \(10\) 行書くのは手間です。
この係数を組み合わせ（二項係数）で表す方法を学びましょう。

ステップ１：二項係数（組み合わせ）の復習

組み合わせの定義

\(n\) 個のものから \(r\) 個を選ぶ選び方の数を \(\binom{n}{r}\)（または \({}_n\mathrm{C}_r\)）と書き、次の式で求めます。

\[ \binom{n}{r} = {}_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!\,(n-r)!} \]

ここで \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)（\(n\) の階乗）、\(0! = 1\) と定めます。

具体的な計算

\[ \binom{4}{0} = 1, \quad \binom{4}{1} = 4, \quad \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = \frac{4\times3}{2\times1} = 6, \quad \binom{4}{3} = 4, \quad \binom{4}{4} = 1 \]

\(n=4\) の展開 \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) の係数 \(1,4,6,4,1\) と一致していますね！

重要な性質

\[ \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1, \qquad \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} \]

ステップ２：なぜ係数が \({}_n\mathrm{C}_r\) になるのか

\((a+b)^n\) を展開するとき、\(n\) 個の因数 \((a+b)\) それぞれから \(a\) か \(b\) かを 1 つ選んで掛け合わせます。

\[ (a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n\text{ 個}} \]

\(a^{n-r}b^r\) という項は、「\(n\) 個の \((a+b)\) のうち \(r\) 個から \(b\) を選び、残り \(n-r\) 個から \(a\) を選ぶ」場合に対応します。

\(r\) 個の \(b\) を選ぶ方法は \(\binom{n}{r}\) 通りあるので、\(a^{n-r}b^r\) の係数は \(\binom{n}{r}\) になります。

イメージ

\((a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)\) の展開で \(ab^2\) の項を考える。
3 個の \((a+b)\) のうち どの 2 個から \(b\) を選ぶか が \(\binom{3}{2}=3\) 通り。
だから \(ab^2\) の係数は 3。

ステップ３：二項定理の公式

二項定理

\[ \boxed{(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r} \]

展開して書くと、

\[ (a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n \]
\[ = a^n + na^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n \]

一般項（第 \(r+1\) 項）

展開式の 第 \(r+1\) 項（\(r = 0, 1, 2, \ldots, n\)）は次の式で表されます。

\[ \boxed{T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r} \]

インデックスに注意

\(r=0\) のとき第 1 項、\(r=1\) のとき第 2 項、…となります。
「第 \(k\) 項」と聞かれたら \(r = k-1\) として代入します。

ステップ４：例題で使い方を身につけよう

例題１：展開する

\((x + 2)^5\) を展開せよ。

解答

二項定理で \(a=x,\ b=2,\ n=5\) とおく。

\[ (x+2)^5 = \sum_{r=0}^{5}\binom{5}{r}x^{5-r}\cdot 2^r \]

各項を計算する。

\(r\) \(\binom{5}{r}\) \(x^{5-r}\) \(2^r\) 項
0 1 \(x^5\) 1 \(x^5\)
1 5 \(x^4\) 2 \(10x^4\)
2 10 \(x^3\) 4 \(40x^3\)
3 10 \(x^2\) 8 \(80x^2\)
4 5 \(x\) 16 \(80x\)
5 1 1 32 \(32\)
\[ \therefore\quad (x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 \]

例題２：特定の項の係数を求める

\((3x - y)^6\) の展開式における \(x^4y^2\) の係数を求めよ。

解答

\(a = 3x,\ b = -y,\ n = 6\) とおく。
一般項は、

\[ T_{r+1} = \binom{6}{r}(3x)^{6-r}(-y)^r = \binom{6}{r} \cdot 3^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-r} y^r \]

\(x^4y^2\) になるのは \(6-r=4\)、つまり \(r=2\) のとき。

\[ T_3 = \binom{6}{2} \cdot 3^4 \cdot (-1)^2 \cdot x^4 y^2 = 15 \cdot 81 \cdot 1 \cdot x^4y^2 = 1215\,x^4y^2 \]

答え：\(x^4y^2\) の係数は \(1215\)

解き方の手順

  1. 一般項 \(T_{r+1}\) を書く
  2. 求めたい \(x\), \(y\) の指数から \(r\) を決める
  3. \(r\) を代入して係数を計算する

例題３：定数項を求める

\(\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^9\) の展開式における定数項を求めよ。

解答

\(a = x^2,\ b = \dfrac{1}{x},\ n = 9\) とおく。
一般項は、

\[ T_{r+1} = \binom{9}{r}(x^2)^{9-r}\left(\frac{1}{x}\right)^r = \binom{9}{r} x^{2(9-r)} \cdot x^{-r} = \binom{9}{r} x^{18-2r-r} = \binom{9}{r} x^{18-3r} \]

定数項は \(x\) の指数が \(0\) になるときなので、

\[ 18 - 3r = 0 \implies r = 6 \]
\[ T_7 = \binom{9}{6} = \frac{9!}{6!\,3!} = \frac{9\times8\times7}{3\times2\times1} = 84 \]

答え：定数項は \(84\)

よくあるミス

\(x\) の指数が \(2(9-r)\) と \(-r\) の 2 つある ことに注意。まとめてから \(= 0\) とおく。

例題４：二項定理の応用（数値の計算）

\(1.02^{10}\) の近似値を、二項定理を使って小数第 3 位まで求めよ。
ただし \(\binom{10}{2} = 45\)、\(\binom{10}{3} = 120\) を用いよ。

解答

\(1.02 = 1 + 0.02\) とみて、\(a=1,\ b=0.02,\ n=10\) として二項定理を適用する。

\[ 1.02^{10} = \sum_{r=0}^{10}\binom{10}{r}(0.02)^r \]

\(r \geq 3\) の項は \((0.02)^3 = 0.000008\) 以下となり、小数第 4 位以下に影響するので無視する。

\[ 1.02^{10} \approx 1 + 10\times0.02 + 45\times(0.02)^2 = 1 + 0.2 + 45\times0.0004 = 1 + 0.2 + 0.018 = 1.218 \]

答え：\(1.02^{10} \approx 1.218\)

練習問題

問１

\((a + 3b)^4\) を展開せよ。

解答

\(n=4,\ a=a,\ b=3b\) として二項定理を適用する。

\[ (a+3b)^4 = \sum_{r=0}^{4}\binom{4}{r}a^{4-r}(3b)^r \]
\(r\) \(\binom{4}{r}\) \(3^r\) 項
0 1 1 \(a^4\)
1 4 3 \(12a^3b\)
2 6 9 \(54a^2b^2\)
3 4 27 \(108ab^3\)
4 1 81 \(81b^4\)
\[ \therefore\quad (a+3b)^4 = a^4 + 12a^3b + 54a^2b^2 + 108ab^3 + 81b^4 \]

問２

\((2x - 1)^7\) の展開式における \(x^3\) の係数を求めよ。

解答

\(a=2x,\ b=-1,\ n=7\) として一般項を書く。

\[ T_{r+1} = \binom{7}{r}(2x)^{7-r}(-1)^r = \binom{7}{r}\cdot 2^{7-r}\cdot(-1)^r\cdot x^{7-r} \]

\(x^3\) になるのは \(7-r=3\)、つまり \(r=4\) のとき。

\[ T_5 = \binom{7}{4}\cdot 2^3 \cdot (-1)^4 \cdot x^3 = 35 \times 8 \times 1 \times x^3 = 280\,x^3 \]

答え：\(x^3\) の係数は \(280\)

問３

\(\left(x - \dfrac{2}{x^2}\right)^9\) の展開式における定数項を求めよ。

解答

\(a=x,\ b=-\dfrac{2}{x^2},\ n=9\) として一般項を書く。

\[ T_{r+1} = \binom{9}{r}x^{9-r}\left(-\frac{2}{x^2}\right)^r = \binom{9}{r}(-2)^r \cdot x^{9-r} \cdot x^{-2r} = \binom{9}{r}(-2)^r \cdot x^{9-3r} \]

定数項は \(x\) の指数が \(0\) のとき：

\[ 9 - 3r = 0 \implies r = 3 \]
\[ T_4 = \binom{9}{3}(-2)^3 = 84 \times (-8) = -672 \]

答え：定数項は \(-672\)

問４（発展）

\((1+x)^n\) の展開式において、次の等式が成り立つことを示せ。

\[ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n \]
解答

二項定理 \((a+b)^n = \displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r\) に \(a=1,\ b=1\) を代入する。

\[ (1+1)^n = \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\cdot 1^{n-r}\cdot 1^r = \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \]

左辺は \(2^n\) なので、

\[ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n \qquad \blacksquare \]

この等式の意味

\(n\) 個のものから 0 個、1 個、…、\(n\) 個を選ぶ方法の総数は \(2^n\) 通り。
各要素について「選ぶ・選ばない」の 2 択があるので、確かに \(2^n\) 通りです。

問５（発展）

\((1+x)^n\) の展開式において、次の等式が成り立つことを示せ。

\[ \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0 \]
解答

二項定理に \(a=1,\ b=-1\) を代入する。

\[ (1+(-1))^n = \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}(-1)^r \]

左辺は \(0^n = 0\)（\(n \geq 1\)）なので、

\[ \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0 \qquad \blacksquare \]

まとめ

二項定理

\[ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \]

第 \(r+1\) 項（一般項）：

\[ T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \]

解き方の流れ

  1. \(a\)、\(b\)、\(n\) を確認する
  2. 一般項 \(T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{n-r}b^r\) を書く
  3. 求めたい項の 指数の条件 から \(r\) を決める
  4. \(r\) を代入して係数を計算する

よくあるミス

  • \(b\) に負の符号が含まれるとき \((-1)^r\) を忘れない
  • \(a\) や \(b\) が \(x^2\) や \(\frac{1}{x}\) などのとき、\(x\) の指数をまとめてから条件を立てる
  • 「第 \(k\) 項」は \(r = k-1\) と対応することに注意