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三次式の展開

この単元で学ぶこと

中学校では \((a+b)^2\) や \((a+b)(a-b)\) などの展開公式を学びました。
高校の数学Ⅱでは、これを3 乗に拡張した展開公式を学びます。

この単元で扱う公式は次の 4 つです。

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
\[ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \]
\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 \]

ステップ０：中学校の展開公式を復習しよう

高校の公式を理解するために、まず中学校で学んだ展開公式を確認しましょう。

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
\[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \]
\[ (x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq \]

展開とは

展開とは、カッコをはずして多項式の和の形に書き直すことです。
たとえば \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) は、左辺のカッコをはずして右辺の形にしています。

これらは \(2\) 乗（二次式）の展開公式でした。今回はこれを \(3\) 乗に拡張します。

ステップ１：\((a+b)^3\) を導いてみよう

いきなり公式を覚えるのではなく、なぜその形になるのかを理解しましょう。

\((a+b)^3\) は \((a+b)\) を 3 回掛けたものです。
まず \((a+b)^2\) を中学校の公式で計算し、それに \((a+b)\) をもう一度掛けます。

\[ (a+b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) \]
\[ = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) \]

ここで丁寧に展開します。\((a^2 + 2ab + b^2)\) の各項に \((a+b)\) を掛けます。

\[ = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a + b^2 \cdot b \]
\[ = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 \]

同類項（文字が同じ項）をまとめます。

\[ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

係数のパターン

展開結果 \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) の係数は \(1, 3, 3, 1\) です。
これは二項定理で学ぶパスカルの三角形の \(n=3\) の行と一致します。

ステップ２：\((a-b)^3\) を導いてみよう

\((a-b)^3\) は、\((a+b)^3\) の \(b\) を \(-b\) に置き換えるだけです。

\[ (a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \]

各項の符号を計算します。

  • \(3a^2(-b) = -3a^2b\)
  • \(3a(-b)^2 = 3a \cdot b^2 = 3ab^2\)　（\((-b)^2 = b^2\) なのでプラス）
  • \((-b)^3 = -b^3\)　（\((-b)^3 = -b^3\) なのでマイナス）
\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

符号のミスに注意

\((a+b)^3\) と \((a-b)^3\) の違いは偶数番目の項の符号です。

項 \((a+b)^3\) \((a-b)^3\)
\(a^3\) の係数 \(+1\) \(+1\)
\(a^2b\) の係数 \(+3\) \(-3\)
\(ab^2\) の係数 \(+3\) \(+3\)
\(b^3\) の係数 \(+1\) \(-1\)

ステップ３：和・差の立方の公式

ステップ１・２の結果をまとめると次の公式になります。

和・差の立方

\[ \boxed{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3} \]
\[ \boxed{(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3} \]

公式の覚え方

\[ (a+b)^3 = \underbrace{a^3}_{\text{①}} + \underbrace{3a^2b}_{\text{②}} + \underbrace{3ab^2}_{\text{③}} + \underbrace{b^3}_{\text{④}} \]
  • ① \(a^3\)：\(a\) の 3 乗
  • ② \(3a^2b\)：係数 3、\(a\) は 2 乗、\(b\) は 1 乗
  • ③ \(3ab^2\)：係数 3、\(a\) は 1 乗、\(b\) は 2 乗
  • ④ \(b^3\)：\(b\) の 3 乗

\(a\) と \(b\) の指数の合計は常に \(3\) で、係数は \(1, 3, 3, 1\) の順になります。

ステップ４：\(a^3 + b^3\) と \(a^3 - b^3\) の因数分解の逆（展開）

次の 2 つの公式は、因数分解の公式を逆に見たものです。
展開の公式として確認しておきましょう。

\(a^3 + b^3\) 型

\[ (a+b)(a^2 - ab + b^2) \]

を展開してみます。

\[ = a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 \]
\[ = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \]

中間の項 \(-a^2b + a^2b\) と \(ab^2 - ab^2\) が打ち消し合います。

\[ = a^3 + b^3 \]

\(a^3 - b^3\) 型

\[ (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]

を展開してみます。

\[ = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 \]
\[ = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 \]

中間の項が打ち消し合います。

\[ = a^3 - b^3 \]

立方和・立方差の公式

\[ \boxed{(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3} \]
\[ \boxed{(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3} \]

符号の覚え方

  • \((a \boldsymbol{+} b)(\cdots) = a^3 \boldsymbol{+} b^3\)　→　同じ符号
  • \((a \boldsymbol{-} b)(\cdots) = a^3 \boldsymbol{-} b^3\)　→　同じ符号
  • カッコの中の \(ab\) の符号は、先頭の符号と逆になる

ステップ５：例題で使い方を身につけよう

例題１：基本的な展開

\((x+3)^3\) を展開せよ。

解答

公式 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) に \(a=x,\ b=3\) を代入する。

\[ (x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 \]

各項を計算する。

\[ = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \]
\[ \therefore\quad (x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \]

例題２：差の展開

\((2x - 1)^3\) を展開せよ。

解答

公式 \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) に \(a=2x,\ b=1\) を代入する。

\[ (2x-1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2x) \cdot 1^2 - 1^3 \]

各項を計算する。\(( 2x)^2 = 4x^2\)、\((2x)^3 = 8x^3\) に注意。

\[ = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \]
\[ \therefore\quad (2x-1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \]

よくあるミス

\(a = 2x\) のとき \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\)、\(a^3 = (2x)^3 = 8x^3\) です。
\(2x^2\) や \(2x^3\) と間違えないよう注意しましょう。

例題３：和の立方（係数あり）

\((3a + 2b)^3\) を展開せよ。

解答

公式に \(a \to 3a,\ b \to 2b\) を代入する。

\[ (3a+2b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 + (2b)^3 \]

各項を計算する。

項 計算 結果
\((3a)^3\) \(27a^3\) \(27a^3\)
\(3(3a)^2(2b)\) \(3 \times 9a^2 \times 2b\) \(54a^2b\)
\(3(3a)(2b)^2\) \(3 \times 3a \times 4b^2\) \(36ab^2\)
\((2b)^3\) \(8b^3\) \(8b^3\)
\[ \therefore\quad (3a+2b)^3 = 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3 \]

例題４：立方和・立方差の展開

次を展開せよ。

(1) \((x+2)(x^2 - 2x + 4)\)　　(2) \((3x-1)(9x^2 + 3x + 1)\)

解答

(1) \(a=x,\ b=2\) として公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\) を使う。

カッコの中が \(a^2 - ab + b^2 = x^2 - 2x + 4\) になっているか確認する。

  • \(a^2 = x^2\) ✓
  • \(ab = x \cdot 2 = 2x\) ✓　（よって \(-ab = -2x\) ✓）
  • \(b^2 = 4\) ✓

公式より、

\[ (x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 \]

(2) \(a=3x,\ b=1\) として公式 \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\) を使う。

  • \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\) ✓
  • \(ab = 3x \cdot 1 = 3x\) ✓
  • \(b^2 = 1\) ✓

公式より、

\[ (3x-1)(9x^2+3x+1) = (3x)^3 - 1^3 = 27x^3 - 1 \]

公式を使う手順

  1. 公式の形 \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) と照らし合わせて \(a,b\) を特定する
  2. カッコの中が \(a^2, ab, b^2\) と一致するか確認する
  3. 一致すれば \(a^3 + b^3\)（または \(a^3 - b^3\)）と書く

例題５：組み合わせて展開

\((x+y+1)(x+y-1)\) を展開せよ。

解答

\(A = x+y\) とおくと、

\[ (x+y+1)(x+y-1) = (A+1)(A-1) \]

中学校の公式 \((A+1)(A-1) = A^2 - 1\) を使う。

\[ = (x+y)^2 - 1 \]

\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) を展開する。

\[ = x^2 + 2xy + y^2 - 1 \]

置き換えのコツ

繰り返し現れる部分式（ここでは \(x+y\)）を 1 文字に置き換えると、
中学校の公式がそのまま使えることが多い。

練習問題

問１

次の式を展開せよ。

(1) \((x+4)^3\)　　(2) \((x-2)^3\)　　(3) \((2x+3)^3\)

解答

(1) 公式 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) に \(a=x,\ b=4\) を代入。

\[ (x+4)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 16 + 64 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64 \]

(2) 公式 \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) に \(a=x,\ b=2\) を代入。

\[ (x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \]

(3) 公式に \(a=2x,\ b=3\) を代入。

\[ (2x+3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 3 + 3(2x) \cdot 9 + 27 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \]

問２

次の式を展開せよ。

(1) \((x-3y)^3\)　　(2) \(\left(a + \dfrac{1}{2}\right)^3\)

解答

(1) 公式 \((a-b)^3\) に \(a=x,\ b=3y\) を代入。

\[ (x-3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 \]

(2) 公式 \((a+b)^3\) に \(a=a,\ b=\dfrac{1}{2}\) を代入。

\[ \left(a+\frac{1}{2}\right)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot \frac{1}{2} + 3a \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = a^3 + \frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{8} \]

問３

次の式を展開せよ。

(1) \((x+1)(x^2 - x + 1)\)　　(2) \((x-3)(x^2 + 3x + 9)\)　　(3) \((2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)\)

解答

(1) 公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\) で \(a=x,\ b=1\)。

\[ (x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \]

(2) 公式 \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\) で \(a=x,\ b=3\)。

\[ (x-3)(x^2+3x+9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27 \]

(3) 公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\) で \(a=2x,\ b=y\)。
カッコの中を確認：\(a^2 = 4x^2\)、\(ab = 2xy\)、\(b^2 = y^2\) より \(a^2-ab+b^2 = 4x^2-2xy+y^2\) ✓

\[ (2x+y)(4x^2-2xy+y^2) = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3 \]

問４

\((x+y)^3 - (x-y)^3\) を展開・整理せよ。

解答

それぞれを公式で展開する。

\[ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \]
\[ (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \]

差を計算する。

\[ (x+y)^3 - (x-y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) \]
\[ = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 \]

同類項をまとめる。

\[ = 6x^2y + 2y^3 \]

因数 \(2y\) を括り出す。

\[ = 2y(3x^2 + y^2) \]

引き算の展開

\((A)^3 - (B)^3\) 型は、それぞれ別々に展開してから引き算する。
符号のミスを防ぐため、引く側をカッコでくくってから計算すると安全。

問５（発展）

\(x + y = 3,\ xy = 1\) のとき、\(x^3 + y^3\) の値を求めよ。

解答

公式 \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\) を変形すると、

\[ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) \]

この変形を確認する。

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \]

よって \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\) が成り立つ。
\(a=x,\ b=y\) として \(x+y=3,\ xy=1\) を代入する。

\[ x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 3^3 - 3 \cdot 1 \cdot 3 = 27 - 9 = 18 \]

答え：\(x^3 + y^3 = 18\)

対称式の計算

\(x^3+y^3\) のように \(x\) と \(y\) を入れ替えても値が変わらない式を対称式といいます。
対称式は \(x+y\) と \(xy\) の値さえわかれば、\(x\), \(y\) を個別に求めなくても計算できます。

まとめ

三次式の展開公式

和・差の立方

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

立方和・立方差

\[ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \]
\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 \]

展開の手順

  1. 公式の形と照らし合わせて \(a\), \(b\) を特定する
  2. \(a\) や \(b\) が複数の項からなる場合（例：\(a = 2x\)）は、累乗の計算を忘れずに
  3. 展開後は同類項をまとめて整理する

よくあるミス

  • \((a-b)^3\) で符号が \(+,-,+,-\) になることを忘れる
  • \(a=2x\) のとき \((2x)^2 = 4x^2\)、\((2x)^3 = 8x^3\) と正しく計算する
  • 立方和・立方差の公式で \(ab\) の符号を間違える
    • \(a^3 + b^3\) のとき：\((a+b)(a^2 \boldsymbol{-} ab + b^2)\)（\(ab\) はマイナス）
    • \(a^3 - b^3\) のとき：\((a-b)(a^2 \boldsymbol{+} ab + b^2)\)（\(ab\) はプラス）