三次式の因数分解¶

この単元で学ぶこと¶

因数分解とは展開の逆操作です。
多項式を「いくつかの式の積（かけ算）の形」に変形することをいいます。

中学校では二次式の因数分解（\(x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)\) など）を学びました。
この単元では三次式の因数分解を学びます。使う公式は展開公式の逆です。

\[ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 \]

\[ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 \]

\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \]

\[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \]

ステップ０：中学校の因数分解を復習しよう¶

高校の因数分解を学ぶ前に、中学校で学んだ手順を確認しましょう。

因数分解の基本手順¶

① まず共通因数を括り出す

\[ 2x^2 + 4x = 2x(x + 2) \]

② 公式を使う

公式	例
\(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)	\(x^2+6x+9 = (x+3)^2\)
\(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)	\(x^2-4x+4 = (x-2)^2\)
\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)	\(x^2-9 = (x+3)(x-3)\)
\(x^2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)\)	\(x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)\)

因数分解のゴール

「これ以上因数分解できない形」になれば完成です。
完成した各因数を既約因数といいます。

ステップ１：和・差の立方の因数分解¶

三次式の展開公式

\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

を右辺 → 左辺の向きに使うと、因数分解の公式になります。

和・差の立方の因数分解

\[ \boxed{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3} \]

\[ \boxed{a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3} \]

公式を使う見分け方¶

次の 4 つの条件がすべて揃っているか確認します。

4 項からなる
最初と最後の項が完全な立方数（\(a^3\) と \(b^3\)）
中間 2 項の係数が 3
符号のパターン が \(+,+,+,+\)（和の立方）または \(+,-,+,-\)（差の立方）

係数チェックの例

\(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\) を見たとき：

\(8x^3 = (2x)^3\) ✓、\(y^3 = y^3\) ✓
中間の係数：\(12 = 3 \times (2x)^2 \times y \div (2x)^2\) … と確認するより、
\(a = 2x\)、\(b = y\) として \((a+b)^3\) の展開と一致するか確かめる

ステップ２：立方和・立方差の因数分解¶

展開公式

\[ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \]

\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 \]

を逆向きに使います。

立方和・立方差の因数分解

\[ \boxed{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)} \]

\[ \boxed{a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)} \]

公式の見分け方と符号の確認¶

式の形	因数分解	\(ab\) の符号
\(a^3 + b^3\)	\((a+b)(a^2 \boldsymbol{-} ab+b^2)\)	マイナス
\(a^3 - b^3\)	\((a-b)(a^2 \boldsymbol{+} ab+b^2)\)	プラス

よくある符号ミス

\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + ab + b^2)\) としてしまう誤りが非常に多いです。
「\(+\) なら中は \(-\)、\(-\) なら中は \(+\)」 と覚えましょう。

確認方法：展開して \(a^3 + b^3\) に戻るか確かめる。

なぜ \((a^2 - ab + b^2)\) はそれ以上因数分解できないのか¶

実数の範囲では \(a^2 - ab + b^2 > 0\) が常に成り立つことが示せます。
（\(a = b = 0\) のときのみ \(0\)）
したがって、この二次式はそれ以上因数分解できません。

ステップ３：例題で使い方を身につけよう¶

例題１：和の立方の因数分解¶

\(x^3 + 6x^2 + 12x + 8\) を因数分解せよ。

解答

各項を確認する。

\(x^3 = x^3\)、\(8 = 2^3\) → 最初と最後は完全な立方数
\(6x^2 = 3 \cdot x^2 \cdot 2\)、\(12x = 3 \cdot x \cdot 2^2\) → 中間 2 項も公式と一致
符号はすべて \(+\) → 和の立方

\(a = x,\ b = 2\) として公式 \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3\) を適用。

\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x+2)^3 \]

例題２：差の立方の因数分解¶

\(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\) を因数分解せよ。

解答

各項を確認する。

\(8x^3 = (2x)^3\)、\(1 = 1^3\)
\(12x^2 = 3(2x)^2 \cdot 1\)、\(6x = 3(2x) \cdot 1^2\)
符号は \(+,-,+,-\) → 差の立方

\(a = 2x,\ b = 1\) として公式 \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3\) を適用。

\[ 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x-1)^3 \]

例題３：立方和の因数分解¶

\(x^3 + 27\) を因数分解せよ。

解答

\(27 = 3^3\) なので、\(a = x,\ b = 3\) として公式 \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) を使う。

\[ x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9) \]

確認：\((x+3)(x^2-3x+9)\) を展開すると、

\[ x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x + 27 = x^3 + 27 \quad \checkmark \]

例題４：立方差の因数分解¶

\(27x^3 - 8y^3\) を因数分解せよ。

解答

\(27x^3 = (3x)^3\)、\(8y^3 = (2y)^3\) なので、\(a = 3x,\ b = 2y\) として公式 \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) を使う。

\[ 27x^3 - 8y^3 = (3x)^3 - (2y)^3 = (3x-2y)\{(3x)^2 + (3x)(2y) + (2y)^2\} \]

各項を計算する。

\[ = (3x-2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) \]

解き方のポイント

\(a^2+ab+b^2\) の部分は、\(a\) と \(b\) を特定した後に代入して計算する。
ここでは \(a=3x,\ b=2y\) なので：

\(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\)
\(ab = (3x)(2y) = 6xy\)
\(b^2 = (2y)^2 = 4y^2\)

例題５：共通因数を括り出してから因数分解¶

\(2x^3 + 16\) を因数分解せよ。

解答

まず共通因数 \(2\) を括り出す。

\[ 2x^3 + 16 = 2(x^3 + 8) \]

\(x^3 + 8 = x^3 + 2^3\) を立方和の公式で因数分解する。

\[ = 2(x+2)(x^2-2x+4) \]

因数分解の順序

まず共通因数を括り出すのが基本です。
共通因数を見落とすと、公式が使いにくくなります。

例題６：置き換えを使った因数分解¶

\((x+1)^3 + (x-1)^3\) を因数分解せよ。

解答

\(A = x+1,\ B = x-1\) とおくと、

\[ (x+1)^3 + (x-1)^3 = A^3 + B^3 \]

公式 \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)\) を使う。

各部分を計算する。

\(A + B = (x+1)+(x-1) = 2x\)
\(AB = (x+1)(x-1) = x^2-1\)
\(A^2 - AB + B^2 = (A+B)^2 - 3AB = (2x)^2 - 3(x^2-1) = 4x^2-3x^2+3 = x^2+3\)

\[ \therefore\quad (x+1)^3 + (x-1)^3 = 2x(x^2+3) \]

\(A^2 - AB + B^2\) の計算テクニック

\(A^2 - AB + B^2 = (A+B)^2 - 3AB\) という変形を使うと、
\(A^2\) や \(B^2\) を個別に計算しなくて済みます。

ステップ４：複雑な三次式の因数分解¶

公式がすぐに使えない場合は、組み立て除法や一つの文字について整理する方法を使います。

一つの文字について整理する方法¶

多変数の三次式では、一つの文字（例：\(x\)）について次数の高い順に整理し、因数を探します。

例題７¶

\(x^3 - y^3 + x^2 - y^2\) を因数分解せよ。

解答

方法：グループに分けて因数分解する（グルーピング）

\[ x^3 - y^3 + x^2 - y^2 \]

前の 2 項と後ろの 2 項をグループに分ける。

\[ = (x^3 - y^3) + (x^2 - y^2) \]

それぞれ因数分解する。

\[ = (x-y)(x^2+xy+y^2) + (x+y)(x-y) \]

共通因数 \((x-y)\) を括り出す。

\[ = (x-y)\{(x^2+xy+y^2) + (x+y)\} \]

\[ = (x-y)(x^2+xy+y^2+x+y) \]

グルーピングのコツ

共通因数が出てくるようにグループを作るのがポイントです。
うまくいかない場合はグループの分け方を変えてみましょう。

練習問題¶

問１¶

次の式を因数分解せよ。

(1) \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)　　(2) \(x^3 - 6x^2 + 12x - 8\)　　(3) \(27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3\)

解答

(1) \(x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3\) の形なので \(a=x,\ b=1\) として和の立方。

\[ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)^3 \]

(2) \(x^3 - 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 4 - 8 = x^3 - 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 - 2^3\) の形なので \(a=x,\ b=2\) として差の立方。

\[ x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x-2)^3 \]

(3) \(27x^3 = (3x)^3\)、\(8y^3 = (2y)^3\) なので \(a=3x,\ b=2y\)。

\(3a^2b = 3(3x)^2(2y) = 3 \cdot 9x^2 \cdot 2y = 54x^2y\) ✓
\(3ab^2 = 3(3x)(2y)^2 = 3 \cdot 3x \cdot 4y^2 = 36xy^2\) ✓

\[ 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3 = (3x+2y)^3 \]

問２¶

次の式を因数分解せよ。

(1) \(x^3 + 64\)　　(2) \(x^3 - 125\)　　(3) \(8x^3 + y^3\)

解答

(1) \(64 = 4^3\) なので \(a=x,\ b=4\) として立方和の公式。

\[ x^3 + 64 = (x+4)(x^2-4x+16) \]

(2) \(125 = 5^3\) なので \(a=x,\ b=5\) として立方差の公式。

\[ x^3 - 125 = (x-5)(x^2+5x+25) \]

(3) \(8x^3 = (2x)^3\) なので \(a=2x,\ b=y\) として立方和の公式。

\[ 8x^3 + y^3 = (2x+y)(4x^2-2xy+y^2) \]

問３¶

次の式を因数分解せよ。

(1) \(3x^3 - 24\)　　(2) \(x^4 - x\)　　(3) \(x^6 - 1\)

解答

(1) まず共通因数 \(3\) を括り出す。

\[ 3x^3 - 24 = 3(x^3 - 8) = 3(x-2)(x^2+2x+4) \]

(2) まず共通因数 \(x\) を括り出す。

\[ x^4 - x = x(x^3 - 1) = x(x-1)(x^2+x+1) \]

(3) \(x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2\) と見て、まず平方差で因数分解する。

\[ x^6 - 1 = (x^3+1)(x^3-1) \]

さらに立方和・立方差で因数分解する。

\[ = (x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1) \]

複数の公式を組み合わせる

因数分解は「これ以上できない」まで続けるのが原則です。
一回因数分解したら、各因数がさらに因数分解できないか確認しましょう。

問４¶

\((x+2)^3 - (x-2)^3\) を因数分解せよ。

解答

\(A = x+2,\ B = x-2\) とおくと、

\[ (x+2)^3 - (x-2)^3 = A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) \]

各部分を計算する。

\(A - B = (x+2)-(x-2) = 4\)
\(AB = (x+2)(x-2) = x^2-4\)
\(A^2 + AB + B^2 = (A-B)^2 + 3AB = 16 + 3(x^2-4) = 16 + 3x^2 - 12 = 3x^2+4\)

\[ \therefore\quad (x+2)^3 - (x-2)^3 = 4(3x^2+4) \]

問５（発展）¶

\(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\) を因数分解せよ。

解答

\(a\) について整理する。\(a\) の係数を集めて書くと、

\[ a^3 - 3bc \cdot a + (b^3 + c^3) \]

\(b^3 + c^3 = (b+c)(b^2-bc+c^2)\) と因数分解できる。
\(a = -(b+c)\) を代入すると \(0\) になるか確認する。

\[ -(b+c)^3 - 3bc \cdot (-(b+c)) + (b+c)(b^2-bc+c^2) \]

\[ = (b+c)\left[-(b+c)^2 + 3bc + (b^2-bc+c^2)\right] \]

\[ = (b+c)\left[-b^2-2bc-c^2+3bc+b^2-bc+c^2\right] \]

\[ = (b+c) \cdot 0 = 0 \]

したがって \(a + b + c\) は因数となる。\(a^3+b^3+c^3-3abc\) を \(a+b+c\) で割ると商は \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\) となるので、

\[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \]

確認：\(a+b+c = 0\) のとき \(a^3+b^3+c^3 = 3abc\) が成り立つことがわかります。

この公式の使いどころ

\(a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) は入試でも登場する重要な公式です。
特に \(a+b+c=0\) という条件が与えられたとき、\(a^3+b^3+c^3 = 3abc\) として利用できます。

まとめ¶

三次式の因数分解公式

和・差の立方

\[ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 \]

\[ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 \]

立方和・立方差

\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \]

\[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \]

因数分解の手順

共通因数を先に括り出す
残った式がどの公式の形に当てはまるか確認する
\(a\)、\(b\) を特定して公式を適用する
各因数がさらに因数分解できないか確認する（完全に因数分解する）

よくあるミス

符号のミス：\(a^3+b^3\) は \((a+b)(a^2 \boldsymbol{-} ab+b^2)\)（中の \(ab\) はマイナス）
共通因数の見落とし：公式を使う前に必ず確認する
因数分解の途中止め：各因数がまだ因数分解できないか必ず確認する
\(a\) の特定ミス：\(8x^3 = (2x)^3\) のように、\(a = 2x\) と正しく特定する