シグマ記号（$\Sigma$）の取り扱い¶

シグマ記号とは何か¶

数学では「たくさんの数を足し合わせる」場面が頻繁に登場します。
たとえば「1 から 100 までの整数をすべて足す」とき、

\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 \]

と書きますが、「$\cdots$」の部分があいまいで、式が長くなると書くのも読むのも大変です。

そこで登場するのがシグマ記号（$\Sigma$）です。
$\Sigma$ はギリシャ語のアルファベットで、英語の "S"（Sum = 合計）に対応します。

シグマ記号の書き方・読み方¶

基本の形¶

\[ \sum_{k=1}^{n} a_k \]

この記号は次のように読みます。

「$k$ を $1$ から $n$ まで動かしたときの $a_k$ の総和」

つまり、

\[ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \]

各部分の名前と役割¶

\[ \underbrace{\sum}_{\text{シグマ}} \underbrace{{}_{k=1}}_{\text{開始値}} {}^{\underbrace{n}_{\text{終了値}}} \underbrace{a_k}_{\text{一般項}} \]

場所	名前	意味
$\Sigma$ の下	開始値	$k$ がいくつから始まるか
$\Sigma$ の上	終了値	$k$ がいくつで終わるか
$\Sigma$ の右	一般項	$k$ を使った足す対象の式

$k$ という文字について

$k$ は「何番目か」を表す変数で、添字（そえじ） や ダミー変数 と呼ばれます。
$k$ の代わりに $i$、$j$、$m$ など他の文字を使っても同じ意味になります。

シグマ記号で書いてみよう¶

例１：$1$ から $5$ までの和¶

\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \sum_{k=1}^{5} k \]

確認：$k=1$ のとき $1$、$k=2$ のとき $2$、…、$k=5$ のとき $5$ を足すので合計は $15$。

例２：$1^2$ から $4^2$ までの和¶

\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = \sum_{k=1}^{4} k^2 \]

確認：$1 + 4 + 9 + 16 = 30$。

例３：奇数の和¶

\[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = \sum_{k=1}^{5}(2k-1) \]

確認：$k=1$ で $1$、$k=2$ で $3$、$k=3$ で $5$、$k=4$ で $7$、$k=5$ で $9$。

シグマに変換するコツ

各項を $k$ を使った式（一般項） で表す
$k$ の開始値と終了値を決める

シグマ記号が便利な理由¶

「$1$ から $100$ までの総和」を普通に書くと…

\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 \quad \text{（「$\cdots$」が何を表すか読み手に依存する）} \]

シグマ記号を使うと正確かつコンパクトに書けます。

\[ \sum_{k=1}^{100} k \quad \text{（誰が読んでも意味が明確）} \]

さらに後で学ぶ公式と組み合わせることで、膨大な足し算を一瞬で計算できます。

シグマの性質（計算ルール）¶

以下の 3 つの性質が、シグマを扱うときの基本ルールです。

性質①：定数倍は外に出せる¶

\[ \sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k \qquad (c\text{ は定数}) \]

なぜ？ $c\,a_1 + c\,a_2 + \cdots + c\,a_n = c(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$ と因数分解できるから。

性質②：和・差はそれぞれのシグマに分けられる¶

\[ \sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \]

\[ \sum_{k=1}^{n}(a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} b_k \]

なぜ？ 足し算の順番は入れ替えられるから（交換法則・結合法則）。

性質③：定数 $c$ の和は $cn$¶

\[ \sum_{k=1}^{n} c = \underbrace{c + c + \cdots + c}_{n\text{ 個}} = cn \]

よくあるミス

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c \neq c$ です。$k$ が変わっても $c$ は変わらないので $n$ 個分足されます。

重要公式¶

以下の 4 つの公式は必ず覚えましょう。試験でも頻出です。

公式①：自然数の和¶

\[ \boxed{\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}} \]

確認（$n=4$）： $1+2+3+4=10$、公式では $\dfrac{4\times5}{2}=10$ ✓

この公式の導き方（ガウスの方法）

$S = 1 + 2 + \cdots + n$ と置く。
同じ $S$ を逆順で書いて足し合わせる。

\[ S = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n \]

\[ S = n + (n-1) + \cdots + 2 + 1 \]

左辺と右辺をそれぞれ足すと、

\[ 2S = \underbrace{(n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1)}_{n\text{ 個}} = n(n+1) \]

\[ \therefore\quad S = \frac{n(n+1)}{2} \]

公式②：自然数の 2 乗の和¶

\[ \boxed{\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \]

確認（$n=3$）： $1+4+9=14$、公式では $\dfrac{3\times4\times7}{6}=14$ ✓

公式③：自然数の 3 乗の和¶

\[ \boxed{\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2} \]

公式③の覚え方

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$ と、公式①の 2 乗になっています。

確認（$n=3$）： $1+8+27=36$、公式では $\left(\dfrac{3\times4}{2}\right)^2=6^2=36$ ✓

公式④：定数の和¶

\[ \boxed{\sum_{k=1}^{n} c = cn} \]

例題¶

例題１：公式を使った計算¶

$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(3k^2 - 2k + 1)$ を求めよ。

解答

性質①②を使って分けてから公式を適用する。

\[ \sum_{k=1}^{10}(3k^2 - 2k + 1) = 3\sum_{k=1}^{10}k^2 - 2\sum_{k=1}^{10}k + \sum_{k=1}^{10}1 \]

各公式に $n=10$ を代入する。

\[ \sum_{k=1}^{10}k^2 = \frac{10\times11\times21}{6} = 385 \]

\[ \sum_{k=1}^{10}k = \frac{10\times11}{2} = 55 \]

\[ \sum_{k=1}^{10}1 = 10 \]

よって、

\[ 3\times385 - 2\times55 + 10 = 1155 - 110 + 10 = \mathbf{1055} \]

例題２：開始値が $1$ でない場合¶

$\displaystyle\sum_{k=3}^{7} k$ を求めよ。

解答

方法①：直接計算

\[ \sum_{k=3}^{7} k = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 \]

方法②：始まりを $1$ にそろえる

\[ \sum_{k=3}^{7} k = \sum_{k=1}^{7} k - \sum_{k=1}^{2} k = \frac{7\times8}{2} - \frac{2\times3}{2} = 28 - 3 = 25 \]

開始値が $1$ でない場合の定石

\[ \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k \]

「$1$ から $n$ まで」の和から「$1$ から $m-1$ まで」の和を引く。

例題３：式を整理してから公式へ¶

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$ を求めよ。

解答

まず一般項を展開してから公式を使う。

\[ k(k+2) = k^2 + 2k \]

\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2\sum_{k=1}^{n}k \]

\[ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) \]

$n(n+1)$ を括り出す。

\[ = n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6} + 1\right) = n(n+1)\cdot\frac{2n+7}{6} \]

\[ \therefore\quad \sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} \]

解き方の定石

シグマの中の式は、まず展開してから公式を使う。

例題４：$\Sigma$ の計算結果を利用する¶

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2$ を求めよ。

解答

一般項は $(2k-1)^2$ で $k=1,2,\ldots,n$ の和。

\[ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n}(4k^2 - 4k + 1) \]

\[ = 4\sum_{k=1}^{n}k^2 - 4\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}1 \]

\[ = 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} + n \]

\[ = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n \]

共通因数 $n$ を括り出す。

\[ = n\left[\frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) + 1\right] \]

\[ = n\left[\frac{2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3}{3}\right] \]

分子を展開・整理する。

\[ 2(n+1)(2n+1) = 2(2n^2+3n+1) = 4n^2+6n+2 \]

\[ 4n^2+6n+2 - 6n - 6 + 3 = 4n^2 - 1 = (2n+1)(2n-1) \]

\[ \therefore\quad \sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2 = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3} \]

練習問題¶

問１¶

次の式を $\Sigma$ を使って表せ。

(1) $2 + 4 + 6 + \cdots + 20$　　(2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$　　(3) $1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + n(n+1)$

解答

(1) 各項は $2k$（$k=1,2,\ldots,10$）なので、

\[ \sum_{k=1}^{10} 2k \]

(2)

\[ \sum_{k=1}^{n} k^3 \]

(3) 各項は $k(k+1)$（$k=1,2,\ldots,n$）なので、

\[ \sum_{k=1}^{n} k(k+1) \]

問２¶

次の値を求めよ。

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k$　　(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2$　　(3) $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^3$

解答

(1)

\[ \sum_{k=1}^{20} k = \frac{20\times21}{2} = 210 \]

(2)

\[ \sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5\times6\times11}{6} = 55 \]

(3)

\[ \sum_{k=1}^{4} k^3 = \left(\frac{4\times5}{2}\right)^2 = 10^2 = 100 \]

問３¶

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k^2 + k - 3)$ を求めよ。

解答

\[ \sum_{k=1}^{n}(2k^2+k-3) = 2\sum_{k=1}^{n}k^2 + \sum_{k=1}^{n}k - 3\sum_{k=1}^{n}1 \]

\[ = 2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 3n \]

\[ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - 3n \]

$n$ で括り出す。

\[ = n\left[\frac{(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n+1}{2} - 3\right] \]

通分（分母を $6$ にそろえる）。

\[ = n\cdot\frac{2(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 18}{6} \]

分子を展開する。

\[ 2(n+1)(2n+1) = 4n^2+6n+2 \]

\[ 4n^2+6n+2+3n+3-18 = 4n^2+9n-13 \]

\[ \therefore\quad \sum_{k=1}^{n}(2k^2+k-3) = \frac{n(4n^2+9n-13)}{6} \]

問４¶

$\displaystyle\sum_{k=3}^{n} k^2$ を求めよ。（$n \geq 3$）

解答

開始値が $3$ なので、$1$ から始まる和から $k=1,2$ の分を引く。

\[ \sum_{k=3}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{2}k^2 \]

\[ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (1^2+2^2) \]

\[ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \]

問５（発展）¶

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を求めよ。

解答

一般項を展開する。

\[ k(k+1)(k+2) = k(k^2+3k+2) = k^3+3k^2+2k \]

\[ \sum_{k=1}^{n}(k^3+3k^2+2k) = \sum_{k=1}^{n}k^3 + 3\sum_{k=1}^{n}k^2 + 2\sum_{k=1}^{n}k \]

\[ = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 + 3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} \]

\[ = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1) \]

$n(n+1)$ を括り出す。

\[ = n(n+1)\left[\frac{n(n+1)}{4} + \frac{2n+1}{2} + 1\right] \]

通分（分母を $4$）。

\[ = n(n+1)\cdot\frac{n(n+1) + 2(2n+1) + 4}{4} \]

\[ = n(n+1)\cdot\frac{n^2+n+4n+2+4}{4} = n(n+1)\cdot\frac{n^2+5n+6}{4} \]

\[ n^2+5n+6 = (n+2)(n+3) \]

\[ \therefore\quad \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \]

きれいな結果

$k(k+1)(k+2)(k+3)$ という連続する 4 つの積の和は $\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ と因数分解された形になります。これは「差分法（階差の方法）」でも導けます。

まとめ¶

シグマ記号の意味

\[ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \]

シグマの性質

\[ \sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k, \qquad \sum_{k=1}^{n}(a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k \]

重要公式

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

\[ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2, \qquad \sum_{k=1}^{n} c = cn \]

計算の流れ

シグマの中の式を展開する
シグマの性質で分割・定数を外に出す
公式に代入して計算する
因数分解して答えをまとめる