標本調査 練習問題¶
標本調査の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 標本調査で求めた数は推定なので、答えには「およそ」「約」をつけよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
全数調査と標本調査・用語¶
確認する解説ページ：標本調査
(1) ある市の中学生 \(12000\) 人から \(400\) 人を選んで、1日の勉強時間を調べた。母集団、標本、標本の大きさをそれぞれ答えよ。
解答
母集団：市の中学生 \(12000\) 人 標本：選ばれた \(400\) 人 標本の大きさ：\(400\)
(2) 次の調査は、全数調査と標本調査のどちらが適切か。
(a) 国勢調査 (b) 缶づめの品質検査 (c) 選挙の出口調査
(d) 学校の健康診断 (e) 川の水質調査
解答
全数調査：(a)、(d)
標本調査：(b)（全部開けると売れなくなる）、(c)（投票した人全員には聞けない）、(e)（川の水を全部は調べられない）
(3) 全校生徒 \(500\) 人から \(40\) 人を選んでアンケートをとる。選び方として適切なものをすべて選べ。
(ア) 朝、早く登校した順に \(40\) 人を選ぶ。
(イ) 生徒に番号をつけ、乱数を使って \(40\) 人を選ぶ。
(ウ) サッカー部の部員 \(40\) 人を選ぶ。
(エ) 全員の名前を書いたくじから \(40\) 枚を引く。
解答
(イ)、(エ)
(ア) や (ウ) は特定の傾向をもつ生徒にかたよる。標本はかたよりなく（無作為に）選ぶ必要がある。
(4) 全数調査ではなく標本調査を行うのは、どんな場合か。理由を2つ答えよ。
解答
- 母集団が大きく、全部を調べると時間や費用がかかりすぎる場合
- 調べると製品がこわれたり使えなくなったりする場合
(5) ある新聞社が、全国の有権者から \(1500\) 人を無作為に選んで電話で世論調査を行った。この調査の母集団は何か。
解答
全国の有権者
(6) 標本調査で求めた値に「およそ」や「約」をつけるのはなぜか。
解答
標本の結果から母集団の様子を推定したもので、母集団の本当の値と完全に一致するとは限らないから。
割合から推定する¶
確認する解説ページ：標本調査
(7) 赤玉と白玉が合わせて \(1000\) 個入った箱から、\(50\) 個を無作為に取り出したら、赤玉が \(18\) 個あった。箱の中の赤玉はおよそ何個か。
解答
赤玉の割合は \(\dfrac{18}{50}\)。\(1000 \times \dfrac{18}{50} = 360\)。およそ \(360\) 個
(8) ある工場で作った製品 \(8000\) 個から \(250\) 個を無作為に取り出したら、不良品が \(4\) 個あった。\(8000\) 個の中の不良品はおよそ何個か。
解答
\(8000 \times \dfrac{4}{250} = 128\)。およそ \(128\) 個
(9) ある中学校の生徒 \(600\) 人から \(40\) 人を無作為に選んで調べたら、朝食をとらない生徒が \(6\) 人いた。この中学校で朝食をとらない生徒はおよそ何人か。
解答
\(600 \times \dfrac{6}{40} = 90\)。およそ \(90\) 人
(10) ある製品の不良品の割合が \(0.5\%\) と推定されている。この製品を \(6000\) 個作ると、不良品はおよそ何個ふくまれると考えられるか。
解答
\(6000 \times 0.005 = 30\)。およそ \(30\) 個
全体の数を推定する¶
確認する解説ページ：標本調査
(11) 池で魚を \(40\) 匹つかまえて印をつけ、池にもどした。数日後に \(60\) 匹つかまえたら、印のついた魚が \(5\) 匹いた。池の魚はおよそ何匹か。
解答
池の魚を \(x\) 匹とすると \(x : 40 = 60 : 5\)。\(x = 480\)。およそ \(480\) 匹
(12) 白い碁石だけが入った袋に、黒い碁石を \(100\) 個入れてよく混ぜた。そこから \(60\) 個を取り出したら、黒い碁石が \(12\) 個あった。袋の中の白い碁石は、はじめおよそ何個あったか。
解答
袋全体の碁石を \(x\) 個とすると \(x : 100 = 60 : 12\)。\(x = 500\)
白い碁石は \(500 - 100 = 400\)。およそ \(400\) 個
(13) 袋の中に白玉と黒玉が入っていて、黒玉は \(120\) 個であることが分かっている。よく混ぜて \(50\) 個取り出したら、黒玉が \(15\) 個あった。袋の中の玉は全部でおよそ何個か。
解答
全体を \(x\) 個とすると \(x : 120 = 50 : 15\)。\(x = 400\)。およそ \(400\) 個
標準¶
いろいろな推定¶
確認する解説ページ：標本調査
(14) \(320\) ページある本の文字数を調べるため、\(5\) ページを無作為に選んで文字数を数えたら、\(588\)、\(602\)、\(595\)、\(610\)、\(605\) 字だった。この本の文字数はおよそ何字か。
解答
標本の平均は \((588 + 602 + 595 + 610 + 605) \div 5 = 600\)（字）
\(600 \times 320 = 192000\)。およそ \(192000\) 字
(15) 全校生徒 \(720\) 人から \(60\) 人を無作為に選んで、ある提案に賛成か反対かを聞いたら、賛成が \(35\) 人、反対が \(25\) 人だった。全校で賛成の生徒はおよそ何人か。
解答
\(720 \times \dfrac{35}{60} = 420\)。およそ \(420\) 人
(16) ある工場では、製品 \(300\) 個を無作為に取り出して調べたら、不良品が \(6\) 個あった。良品を \(4900\) 個以上つくるには、製品をおよそ何個つくればよいか。
解答
不良品の割合は \(\dfrac{6}{300} = 0.02\)、良品の割合は \(0.98\)
\(4900 \div 0.98 = 5000\)。およそ \(5000\) 個
(17) \(2500\) 個の玉が入った箱から、玉を無作為に取り出して赤玉の割合を調べることを3回くり返したら、\(0.35\)、\(0.40\)、\(0.33\) だった。3回の平均を使って、箱の中の赤玉の数を推定せよ。
解答
平均は \((0.35 + 0.40 + 0.33) \div 3 = 0.36\)
\(2500 \times 0.36 = 900\)。およそ \(900\) 個
(18) 白いビーズがたくさん入った箱に、赤いビーズを \(50\) 個入れてよく混ぜた。\(80\) 個を取り出したら、赤いビーズが \(4\) 個あった。白いビーズはおよそ何個か。
解答
全体を \(x\) 個とすると \(x : 50 = 80 : 4\)。\(x = 1000\)
白いビーズは \(1000 - 50 = 950\)。およそ \(950\) 個
(19) 湖で魚を \(150\) 匹つかまえて印をつけて放した。後日 \(100\) 匹つかまえたら、印のついた魚が \(6\) 匹いた。湖の魚はおよそ何匹か。
解答
\(x : 150 = 100 : 6\)。\(x = 2500\)。およそ \(2500\) 匹
(20) ある図書館の蔵書 \(15000\) 冊から \(200\) 冊を無作為に選んだら、出版から \(10\) 年以上たった本が \(46\) 冊あった。蔵書のうち、出版から \(10\) 年以上たった本はおよそ何冊か。
解答
\(15000 \times \dfrac{46}{200} = 3450\)。およそ \(3450\) 冊
調査の方法を考える¶
確認する解説ページ：標本調査
(21) ある町の人の「ふだんの通勤時間」を調べるため、平日の昼に駅前で通りかかった人に聞いた。この調査の問題点を説明せよ。
解答
平日の昼に駅前にいる人は、通勤中の人が少なく、駅を使う人にかたよっている。町の人全体を代表する標本になっていないので、正しく推定できない。
(22) 全校生徒 \(300\) 人から \(30\) 人を無作為に選ぶ方法を1つ説明せよ。
解答
例：全員に \(1\) から \(300\) までの番号をつけ、コンピューターの乱数で \(1\)〜\(300\) の数を重ならないように \(30\) 個出し、その番号の生徒を選ぶ。
（くじ引きを使ってもよい）
(23) 同じ母集団から、AさんとBさんがそれぞれ \(50\) 個ずつ標本を取り出して割合を調べたら、結果が少しちがった。その理由を説明せよ。
解答
無作為に取り出しても、どの個体が選ばれるかは毎回ちがうので、標本の割合は標本ごとに少しずつ変わるから。
(24) 「標本の大きさを大きくすれば、推定した値は必ず母集団の本当の値と一致する」という意見は正しいか。
解答
正しくない。標本を大きくすると推定の精度は上がる（本当の値に近くなりやすい）が、必ず一致するとはいえない。
(25) 母集団 \(2500\) 人について、標本調査の結果、ある質問に「はい」と答えた割合は \(0.24\) だった。「はい」と答える人は母集団におよそ何人いると考えられるか。
解答
\(2500 \times 0.24 = 600\)。およそ \(600\) 人
発展¶
(26) 池で魚を \(60\) 匹つかまえて印をつけて放した。後日 \(90\) 匹つかまえたら、印のついた魚が \(6\) 匹いた。
(a) 池の魚はおよそ何匹か。
(b) 印をつけた魚が弱ってつかまりやすくなっていた場合、(a) の推定は、本当の数より大きくなるか、小さくなるか。
解答
(a) \(x : 60 = 90 : 6\) より \(x = 900\)。およそ \(900\) 匹
(b) 印のついた魚が多くつかまり、印の割合が本当より大きく出るので、推定値は本当の数より小さくなる。
(27) 白玉・赤玉・青玉が合わせて \(1200\) 個入った袋から、\(80\) 個を無作為に取り出したら、白玉 \(30\) 個、赤玉 \(34\) 個、青玉 \(16\) 個だった。袋の中のそれぞれの玉の数を推定せよ。
解答
白玉：\(1200 \times \dfrac{30}{80} = 450\)、赤玉：\(1200 \times \dfrac{34}{80} = 510\)、青玉：\(1200 \times \dfrac{16}{80} = 240\)
およそ 白 \(450\) 個、赤 \(510\) 個、青 \(240\) 個
(28) 畑でとれたジャガイモ \(1200\) 個から \(10\) 個を無作為に選んで重さをはかったら、平均は \(180\) g だった。とれたジャガイモ全体の重さはおよそ何 kg か。
解答
\(180 \times 1200 = 216000\)（g）。およそ \(216\) kg
(29) 池で \(30\) 匹の魚に印をつけて放し、池の魚はおよそ \(600\) 匹と推定されている。後日 \(80\) 匹をつかまえると、印のついた魚はおよそ何匹ふくまれると考えられるか。
解答
印のついた魚の割合は \(\dfrac{30}{600} = \dfrac{1}{20}\)
\(80 \times \dfrac{1}{20} = 4\)。およそ \(4\) 匹
(30) ある中学校で、1組（\(30\) 人）全員に調べた結果をもとに、全校 \(600\) 人の「スマートフォンの1日の利用時間」を推定しようとした。この方法の問題点と、よりよい方法を説明せよ。
解答
問題点：1組だけでは学年がかたよっていて、全校を代表する標本とはいえない。
よりよい方法：全校 \(600\) 人から、乱数などを使って無作為に標本を選ぶ。