平方根の加法・減法
基本の考え方
根号を含む式の足し算・引き算は、根号の中が同じもの（同類項）をまとめる。
文字式の計算と同じ考え方で、\(\sqrt{2}\) を \(x\) のような「文字」だと思うとわかりやすい。
\[ 3x + 5x = 8x \quad \Leftrightarrow \quad 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]
\[ 7x - 2x = 5x \quad \Leftrightarrow \quad 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
根号の中が違うものはまとめられない
\[ \sqrt{2} + \sqrt{3} \quad \text{→ これ以上まとめられない} \]
\[ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \quad \text{→ これ以上まとめられない} \]
根号の中が同じ場合
係数だけを計算する。
\[ a\sqrt{n} + b\sqrt{n} = (a + b)\sqrt{n} \]
\[ a\sqrt{n} - b\sqrt{n} = (a - b)\sqrt{n} \]
例題１
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} \]
解答
根号の中がどちらも \(5\) なのでまとめられる。
\[ = (3 + 4)\sqrt{5} = 7\sqrt{5} \]
例題２
次の計算をせよ。
\[ 8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \]
解答
\[ = (8 - 5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \]
例題３
次の計算をせよ。
\[ 2\sqrt{7} + \sqrt{7} - 4\sqrt{7} \]
解答
\(\sqrt{7} = 1 \cdot \sqrt{7}\) に注意して、
\[ = (2 + 1 - 4)\sqrt{7} = -\sqrt{7} \]
根号を簡単にしてからまとめる
根号の中が一見違って見えても、簡単にすると同じになることがある。必ず先に根号を簡単にしてから計算する。
\[ \sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
手順
- 各項の根号を簡単にする（完全平方数を外に出す）
- 根号の中が同じものをまとめる
例題４
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{12} + \sqrt{27} \]
解答
まず根号を簡単にする。
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \]
よって、
\[ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
例題５
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{50} - \sqrt{18} \]
解答
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]
よって、
\[ 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
例題６
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{8} - \sqrt{32} + \sqrt{2} \]
解答
\[ 3\sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \]
よって、
\[ 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = (6 - 4 + 1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
根号の中が異なる項が混在する場合
根号の中ごとに同類項をまとめる。
例題７
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{2} + 5\sqrt{3} - \sqrt{2} + 2\sqrt{3} \]
解答
\(\sqrt{2}\) どうし、\(\sqrt{3}\) どうしでまとめる。
\[ = (3 - 1)\sqrt{2} + (5 + 2)\sqrt{3} \]
\[ = 2\sqrt{2} + 7\sqrt{3} \]
例題８
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5} \]
解答
\[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \]
\[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \]
よって、
\[ 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \]
有理数と無理数が混ざる場合
整数（有理数）と根号（無理数）はまとめられない。それぞれ別々に計算する。
例題９
次の計算をせよ。
\[ (3 + 2\sqrt{6}) + (1 - 5\sqrt{6}) \]
解答
整数どうし、根号どうしを別々にまとめる。
\[ = (3 + 1) + (2 - 5)\sqrt{6} \]
\[ = 4 - 3\sqrt{6} \]
例題１０
次の計算をせよ。
\[ (5 - 3\sqrt{2}) - (2 + \sqrt{2}) \]
解答
かっこを外してから整理する。
\[ = 5 - 3\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} \]
\[ = (5 - 2) + (-3 - 1)\sqrt{2} \]
\[ = 3 - 4\sqrt{2} \]
練習問題
(1) \(\ 6\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\)
解答
\[ = 9\sqrt{5} \]
(2) \(\ 9\sqrt{7} - 4\sqrt{7}\)
解答
\[ = 5\sqrt{7} \]
(3) \(\ 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\)
解答
\[ = (5 - 2 + 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
(4) \(\ \sqrt{8} + \sqrt{2}\)
解答
\[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
\[ 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
(5) \(\ \sqrt{75} - \sqrt{48}\)
解答
\[ \sqrt{75} = 5\sqrt{3}, \quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]
\[ 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3} \]
(6) \(\ \sqrt{12} + \sqrt{3} - \sqrt{27}\)
解答
\[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
\[ 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0 \]
(7) \(\ 2\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + 4\sqrt{3}\)
解答
\[ = (2 - 1)\sqrt{5} + (1 + 4)\sqrt{3} \]
\[ = \sqrt{5} + 5\sqrt{3} \]
(8) \(\ \sqrt{24} + \sqrt{54} - \sqrt{6}\)
解答
\[ \sqrt{24} = 2\sqrt{6}, \quad \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \]
\[ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 4\sqrt{6} \]
(9) \(\ (4 + 3\sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2})\)
解答
\[ = (4 + 1) + (3 - 1)\sqrt{2} \]
\[ = 5 + 2\sqrt{2} \]
(10) \(\ (7 - 2\sqrt{3}) - (3 - 5\sqrt{3})\)
解答
\[ = 7 - 2\sqrt{3} - 3 + 5\sqrt{3} \]
\[ = 4 + 3\sqrt{3} \]
(11)（発展） \(\ \sqrt{63} - \sqrt{28} + \sqrt{112}\)
解答
\[ \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7} \]
\[ \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \]
\[ \sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7} \]
\[ 3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 4\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \]
(12)（発展） \(\ \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{2}) + \sqrt{6}\)
解答
まず \(\sqrt{2}\) を分配する。
\[ \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \]
\[ \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \]
よって、
\[ = 4 - 2 + \sqrt{6} = 2 + \sqrt{6} \]
まとめ
平方根の加減のポイント
- 根号の中を先に簡単にする（完全平方数を外に出す）
- 根号の中が同じものだけまとめられる（係数を計算する）
- 異なる根号どうし・整数と根号はまとめられない
文字式と対応させて考えよう
| 文字式 | 平方根 |
| \(3x + 5x = 8x\) | \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) |
| \(3x - x = 2x\) | \(3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\) |
| \(2x + 3y\)（まとめられない） | \(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\)（まとめられない） |