平方根の乗法・除法¶
乗法（掛け算）の基本¶
根号どうしの掛け算¶
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \quad (a \geq 0,\ b \geq 0) \]
\[ \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} \]
係数がある場合¶
係数どうし、根号どうしをそれぞれかける。
\[ (m\sqrt{a}) \times (n\sqrt{b}) = mn\sqrt{ab} \]
\[ 3\sqrt{2} \times 4\sqrt{3} = (3 \times 4)\sqrt{2 \times 3} = 12\sqrt{6} \]
例題１¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{7} \]
解答
\[ = \sqrt{6 \times 7} = \sqrt{42} \]
例題２¶
次の計算をせよ。
\[ 2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} \]
解答
\[ = (2 \times 5)\sqrt{3 \times 2} = 10\sqrt{6} \]
例題３¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{3} \times \sqrt{3} \]
解答
\[ = \sqrt{3 \times 3} = \sqrt{9} = 3 \]
同じ根号どうしをかけると整数になる
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a \]
乗法：結果を簡単にする¶
掛け算の結果が根号で簡単にできる場合は、最後に簡単にする。
例題４¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{8} \]
解答
\[ = \sqrt{6 \times 8} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]
例題５¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} \]
解答
\[ = 6\sqrt{5 \times 10} = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \]
除法（割り算）の基本¶
根号どうしの割り算¶
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \geq 0,\ b > 0) \]
\[ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \]
係数がある場合¶
係数どうし、根号どうしをそれぞれ割る。
\[ \frac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}} = \frac{m}{n} \sqrt{\frac{a}{b}} \]
\[ \frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2}\sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2} \]
例題６¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{21} \div \sqrt{7} \]
解答
\[ = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{21}{7}} = \sqrt{3} \]
例題７¶
次の計算をせよ。
\[ 8\sqrt{6} \div 4\sqrt{3} \]
解答
\[ = \frac{8}{4}\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2} \]
除法：有理化が必要な場合¶
割り算の結果の分母に根号が残る場合は有理化する。
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \]
有理化の手順
分母・分子に分母と同じ根号をかけて、分母を整数にする。
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \]
例題８¶
次の計算をせよ。
\[ \frac{4}{\sqrt{3}} \]
解答
\[ = \frac{4 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]
例題９¶
次の計算をせよ。
\[ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \]
解答
\[ = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \]
乗除の混じった計算¶
掛け算・割り算が混じる場合は、左から順に計算する。
例題１０¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{3} \div \sqrt{2} \]
解答
左から順に計算する。
\[ = \sqrt{6 \times 3} \div \sqrt{2} = \sqrt{18} \div \sqrt{2} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \]
例題１１¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{2} \times \sqrt{6} \div \sqrt{3} \]
解答
\[ = 3\sqrt{2 \times 6} \div \sqrt{3} = 3\sqrt{12} \div \sqrt{3} = 3\sqrt{\frac{12}{3}} = 3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 \]
分配法則を使う計算¶
\(\sqrt{}\) を含む式でも分配法則が使える。
\[ \sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{ab} + \sqrt{ac} \]
例題１２¶
次の式を展開せよ。
\[ \sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]
解答
\[ = \sqrt{3} \times \sqrt{6} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} \]
\[ = \sqrt{18} + \sqrt{6} \]
\[ = 3\sqrt{2} + \sqrt{6} \]
例題１３¶
次の式を展開せよ。
\[ \sqrt{2}(3\sqrt{2} - \sqrt{8}) \]
解答
\[ = \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{8} \]
\[ = 3 \times 2 - \sqrt{16} \]
\[ = 6 - 4 = 2 \]
練習問題¶
(1) \(\ \sqrt{5} \times \sqrt{7}\)
解答
\[ = \sqrt{35} \]
(2) \(\ \sqrt{2} \times \sqrt{8}\)
解答
\[ = \sqrt{16} = 4 \]
(3) \(\ 3\sqrt{2} \times 4\sqrt{5}\)
解答
\[ = 12\sqrt{10} \]
(4) \(\ \sqrt{10} \times \sqrt{6}\)
解答
\[ = \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} \]
(5) \(\ \sqrt{24} \div \sqrt{6}\)
解答
\[ = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2 \]
(6) \(\ 10\sqrt{15} \div 2\sqrt{3}\)
解答
\[ = \frac{10}{2}\sqrt{\frac{15}{3}} = 5\sqrt{5} \]
(7) \(\ \dfrac{6}{\sqrt{2}}\)
解答
\[ = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]
(8) \(\ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)
解答
\[ = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3} \]
(9) \(\ \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt{6}\)
解答
\[ = \sqrt{3 \times 2 \times 6} = \sqrt{36} = 6 \]
(10) \(\ \sqrt{5} \times \sqrt{10} \div \sqrt{2}\)
解答
\[ = \sqrt{5 \times 10} \div \sqrt{2} = \sqrt{50} \div \sqrt{2} = \sqrt{25} = 5 \]
(11) \(\ \sqrt{2}(\sqrt{10} + \sqrt{6})\)
解答
\[ = \sqrt{20} + \sqrt{12} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} \]
(12) \(\ \sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{12})\)
解答
\[ = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{12} \]
\[ = 2 \times 3 - \sqrt{36} \]
\[ = 6 - 6 = 0 \]
(13)（発展） \(\ \dfrac{4\sqrt{3} \times \sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\)
解答
分子を先に計算する。
\[ 4\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{18} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \]
よって、
\[ \frac{12\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{2} = 6 \]
(14)（発展） \(\ \sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - \sqrt{12}\)
解答
まず分配法則で展開する。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{2} - \sqrt{12} \]
\[ = \sqrt{18} + \sqrt{12} - \sqrt{12} \]
\[ = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
まとめ¶
乗法・除法のポイント
| 操作 | 公式 |
|---|---|
| 掛け算 | \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) |
| 割り算 | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) |
| 係数あり | \((m\sqrt{a})(n\sqrt{b}) = mn\sqrt{ab}\) |
| 同じ根号 | \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\) |
| 有理化 | \(\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}\) |