平方根の基本¶

平方根とは¶

\(2\) 乗すると \(a\) になる数を、\(a\) の平方根という。

\[ x^2 = a \quad \Rightarrow \quad x \text{ は } a \text{ の平方根} \]

例えば、\(3^2 = 9\) かつ \((-3)^2 = 9\) なので、\(9\) の平方根は \(3\) と \(-3\) の２つ。

平方根の個数

\(a > 0\) のとき　→　平方根は２つ（正と負）
\(a = 0\) のとき　→　平方根は１つ（\(0\) のみ）
\(a < 0\) のとき　→　平方根は 存在しない（実数の範囲では）

根号（ルート）の表し方¶

\(a > 0\) のとき、\(a\) の平方根のうち正の方を \(\sqrt{a}\)（根号 \(a\)、ルート \(a\)）と書く。

\[ \sqrt{9} = 3, \quad -\sqrt{9} = -3 \]

\[ a \text{ の平方根} = \pm\sqrt{a} \]

\(\sqrt{a}\) は正の値のみ

\(\sqrt{a}\) は必ず正の数（または \(0\)）を表す。負の数は \(-\sqrt{a}\) と書く。

\[ \sqrt{9} = 3 \quad （\times\ \sqrt{9} = \pm 3 \text{ ではない}） \]

平方根の値¶

よく使う平方根の値を覚えておこう。

\(a\)	\(\sqrt{a}\)	近似値
\(1\)	\(1\)	\(1.000\)
\(2\)	\(\sqrt{2}\)	\(1.414\ldots\)
\(3\)	\(\sqrt{3}\)	\(1.732\ldots\)
\(4\)	\(2\)	\(2.000\)
\(5\)	\(\sqrt{5}\)	\(2.236\ldots\)
\(9\)	\(3\)	\(3.000\)
\(16\)	\(4\)	\(4.000\)
\(25\)	\(5\)	\(5.000\)

語呂合わせで覚えよう

\(\sqrt{2} \approx 1.41421\ldots\) →「一夜一夜に人見頃」
\(\sqrt{3} \approx 1.73205\ldots\) →「人並みに奢れや」
\(\sqrt{5} \approx 2.23606\ldots\) →「富士山麓オウム鳴く」

根号を含む数の大小¶

正の数どうしの比較¶

\(a > 0,\ b > 0\) のとき、

\[ a < b \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{a} < \sqrt{b} \]

根号の中が大きいほど、値も大きい。

\[ \sqrt{3} < \sqrt{5} < \sqrt{7} \]

整数と根号の比較¶

整数を根号の形に直して比べる。

\[ 3 = \sqrt{9} \quad \text{なので} \quad \sqrt{8} < 3 < \sqrt{10} \]

例題１¶

次の数を小さい順に並べよ。

\[ \sqrt{6},\quad 2,\quad \sqrt{3},\quad 3 \]

解答

整数を根号に直す。

\[ 2 = \sqrt{4}, \quad 3 = \sqrt{9} \]

根号の中で比べると、\(3 < 4 < 6 < 9\) なので、

\[ \sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9} \]

答え：\(\sqrt{3} < 2 < \sqrt{6} < 3\)

根号の性質¶

\(a > 0\) のとき、次の性質が成り立つ。

根号の基本性質

\[ (\sqrt{a})^2 = a \]

\[ \sqrt{a^2} = a \quad (a \geq 0) \]

\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \]

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b \neq 0) \]

\(\sqrt{a^2}\) の注意点¶

\(a\) が負のときは \(\sqrt{a^2} = -a\)（正の数になる）。

\[ \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = -(-3) \]

まとめると、

\[ \sqrt{a^2} = |a| \]

例題２¶

次の値を求めよ。

(1) \((\sqrt{7})^2\) 　　(2) \(\sqrt{5^2}\) 　　(3) \(\sqrt{(-4)^2}\)

解答

(1) \((\sqrt{7})^2 = 7\)

(2) \(\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5\)

(3) \(\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \quad\)（\(= |-4| = 4\)）

根号の変形：\(\sqrt{a}\) の簡単化¶

根号の中をできるだけ小さい整数にすることを根号を簡単にするという。

\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

手順

根号の中を完全平方数の積に分解する
\(\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}\) の形に変形する

例題３¶

次の根号を簡単にせよ。

(1) \(\sqrt{18}\) 　　(2) \(\sqrt{50}\) 　　(3) \(\sqrt{72}\)

解答

(1)

\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]

(2)

\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \]

(3)

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \]

有理化¶

分母に根号がある場合、分母と分子に同じ根号をかけて分母を整数にすることを有理化という。

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

有理化の公式

\[ \frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a} \]

例題４¶

次の式を有理化せよ。

(1) \(\dfrac{5}{\sqrt{5}}\) 　　(2) \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) 　　(3) \(\dfrac{3}{\sqrt{6}}\)

解答

(1)

\[ \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \]

(2)

\[ \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]

(3)

\[ \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

練習問題¶

(1) 次の数の平方根を答えよ。

\[ \text{(a)}\ 25 \qquad \text{(b)}\ 0.01 \qquad \text{(c)}\ \frac{4}{9} \]

解答

(a) \(\pm 5\)

(b) \(\pm 0.1 \quad\)（\(0.1^2 = 0.01\)）

(c) \(\pm \dfrac{2}{3} \quad\)（\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}\)）

(2) 次の数を小さい順に並べよ。

\[ -\sqrt{5},\quad \sqrt{2},\quad -2,\quad \sqrt{7} \]

解答

正の数：\(\sqrt{2} < \sqrt{7}\)

負の数：\(-2 = -\sqrt{4}\) なので \(-\sqrt{5} < -\sqrt{4} = -2\)

答え：\(-\sqrt{5} < -2 < \sqrt{2} < \sqrt{7}\)

(3) 次の値を求めよ。

\[ \text{(a)}\ (\sqrt{11})^2 \qquad \text{(b)}\ \sqrt{(-6)^2} \qquad \text{(c)}\ -(\sqrt{3})^2 \]

解答

(a) \(11\)

(b) \(6\)

(c) \(-3\)

(4) 次の根号を簡単にせよ。

\[ \text{(a)}\ \sqrt{20} \qquad \text{(b)}\ \sqrt{45} \qquad \text{(c)}\ \sqrt{98} \]

解答

(a)

\[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \]

(b)

\[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \]

(c)

\[ \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2} \]

(5) 次の式を有理化せよ。

\[ \text{(a)}\ \frac{4}{\sqrt{2}} \qquad \text{(b)}\ \frac{1}{\sqrt{7}} \qquad \text{(c)}\ \frac{10}{\sqrt{5}} \]

解答

(a)

\[ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

(b)

\[ \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} \]

(c)

\[ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]

(6)（発展） \(\sqrt{n}\) が整数になるような自然数 \(n\) を、\(1\) 以上 \(30\) 以下の範囲ですべて答えよ。

解答

\(\sqrt{n}\) が整数になるのは、\(n\) が完全平方数のとき。

\(1^2 = 1,\ 2^2 = 4,\ 3^2 = 9,\ 4^2 = 16,\ 5^2 = 25\)

答え：\(n = 1, 4, 9, 16, 25\)

まとめ¶

平方根の基本まとめ

\(a\) の平方根は \(\pm\sqrt{a}\)（\(a > 0\)）
\(\sqrt{a}\) は正の値のみを表す
\((\sqrt{a})^2 = a\)、\(\sqrt{a^2} = |a|\)
根号は中に完全平方数があれば外に出せる：\(\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}\)
分母の有理化：\(\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}\)