展開公式
展開とは
多項式の積をかっこを外して和の形に表すことを展開という。
\[ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 \]
公式一覧
展開でよく使う４つの公式を覚えよう。
展開公式
\[ \text{公式①} \quad (x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab \]
\[ \text{公式②} \quad (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 \]
\[ \text{公式③} \quad (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \]
\[ \text{公式④} \quad (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \]
公式①：\((x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
なぜこうなるの？（導出）
分配法則を２回使う。
\[ (x + a)(x + b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b \]
\[ = x^2 + bx + ax + ab \]
\[ = x^2 + (a + b)x + ab \]
ポイント
- \(x\) の係数 → \(a + b\)（２数の和）
- 定数項 → \(ab\)（２数の積）
例題１
次の式を展開せよ。
\[ (x + 3)(x + 5) \]
解答
\(a = 3,\ b = 5\) として公式①を使う。
\[ = x^2 + (3 + 5)x + 3 \times 5 \]
\[ = x^2 + 8x + 15 \]
例題２
次の式を展開せよ。
\[ (x - 2)(x + 7) \]
解答
\(a = -2,\ b = 7\) として公式①を使う。
\[ = x^2 + (-2 + 7)x + (-2) \times 7 \]
\[ = x^2 + 5x - 14 \]
例題３
次の式を展開せよ。
\[ (x - 4)(x - 3) \]
解答
\(a = -4,\ b = -3\) として公式①を使う。
\[ = x^2 + (-4 + (-3))x + (-4) \times (-3) \]
\[ = x^2 - 7x + 12 \]
公式②：\((x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\)
なぜこうなるの？（導出）
公式①で \(b = a\) とおくと、
\[ (x + a)^2 = (x + a)(x + a) = x^2 + (a + a)x + a \cdot a = x^2 + 2ax + a^2 \]
ポイント
「２乗＝前２乗・２倍の積・後２乗」 と覚えよう。
\[ (x + a)^2 = \underbrace{x^2}_{\text{前}^2} + \underbrace{2ax}_{\text{２倍の積}} + \underbrace{a^2}_{\text{後}^2} \]
例題４
次の式を展開せよ。
\[ (x + 4)^2 \]
解答
\(a = 4\) として公式②を使う。
\[ = x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2 \]
\[ = x^2 + 8x + 16 \]
例題５
次の式を展開せよ。
\[ (2x + 3)^2 \]
解答
\(x\) の部分を \(2x\)、\(a = 3\) として公式②を使う。
\[ = (2x)^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2x + 3^2 \]
\[ = 4x^2 + 12x + 9 \]
公式③：\((x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2\)
なぜこうなるの？（導出）
公式②の \(a\) を \(-a\) に置き換えると、
\[ (x + (-a))^2 = x^2 + 2(-a)x + (-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \]
符号に注意！
公式②との違いは中間の項の符号だけ。
\[ (x + a)^2 = x^2 \mathbf{+} 2ax + a^2 \]
\[ (x - a)^2 = x^2 \mathbf{-} 2ax + a^2 \]
定数項 \(a^2\) は常に正になる。
例題６
次の式を展開せよ。
\[ (x - 5)^2 \]
解答
\(a = 5\) として公式③を使う。
\[ = x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2 \]
\[ = x^2 - 10x + 25 \]
例題７
次の式を展開せよ。
\[ (3x - 2)^2 \]
解答
\(x\) の部分を \(3x\)、\(a = 2\) として公式③を使う。
\[ = (3x)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + 2^2 \]
\[ = 9x^2 - 12x + 4 \]
公式④：\((x + a)(x - a) = x^2 - a^2\)
なぜこうなるの？（導出）
公式①で \(b = -a\) とおくと、
\[ (x + a)(x - a) = x^2 + (a + (-a))x + a \cdot (-a) \]
\[ = x^2 + 0 \cdot x - a^2 = x^2 - a^2 \]
ポイント
和と差の積 → ２乗の差になる。\(x\) の項が消えるのが特徴！
\[ (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \]
例題８
次の式を展開せよ。
\[ (x + 6)(x - 6) \]
解答
\(a = 6\) として公式④を使う。
\[ = x^2 - 6^2 = x^2 - 36 \]
例題９
次の式を展開せよ。
\[ (2x + 5)(2x - 5) \]
解答
\(x\) の部分を \(2x\)、\(a = 5\) として公式④を使う。
\[ = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25 \]
練習問題
次の式を展開せよ。
(1) \(\ (x + 2)(x + 9)\)
解答
公式①：\(a = 2,\ b = 9\)
\[ = x^2 + 11x + 18 \]
(2) \(\ (x - 3)(x - 8)\)
解答
公式①：\(a = -3,\ b = -8\)
\[ = x^2 - 11x + 24 \]
(3) \(\ (x + 1)(x - 6)\)
解答
公式①：\(a = 1,\ b = -6\)
\[ = x^2 - 5x - 6 \]
(4) \(\ (x + 7)^2\)
解答
公式②：\(a = 7\)
\[ = x^2 + 14x + 49 \]
(5) \(\ (x - 9)^2\)
解答
公式③：\(a = 9\)
\[ = x^2 - 18x + 81 \]
(6) \(\ (x + 8)(x - 8)\)
解答
公式④：\(a = 8\)
\[ = x^2 - 64 \]
(7) \(\ (3x + 1)^2\)
解答
公式②：\(x \to 3x,\ a = 1\)
\[ = 9x^2 + 6x + 1 \]
(8) \(\ (4x - 3)(4x + 3)\)
解答
公式④：\(x \to 4x,\ a = 3\)
\[ = 16x^2 - 9 \]
(9) \(\ (2x - 7)^2\)
解答
公式③：\(x \to 2x,\ a = 7\)
\[ = 4x^2 - 28x + 49 \]
(10)（発展） \(\ (x + 3)^2 - (x + 3)(x - 3)\)
解答
それぞれ展開してから整理する。
公式②より：
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
公式④より：
\[ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 \]
よって、
\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9 \]
\[ = 6x + 18 \]
まとめ
展開公式４つ
| 公式 | 形 | 結果 |
| ① | \((x+a)(x+b)\) | \(x^2 + (a+b)x + ab\) |
| ② | \((x+a)^2\) | \(x^2 + 2ax + a^2\) |
| ③ | \((x-a)^2\) | \(x^2 - 2ax + a^2\) |
| ④ | \((x+a)(x-a)\) | \(x^2 - a^2\) |
使い分けのコツ
- 同じ２項の２乗 → 公式② or ③
- 符号だけ違う２項の積 → 公式④（\(x\) の項が消える！）
- それ以外の２項の積 → 公式①