展開公式¶

展開とは¶

多項式の積をかっこを外して和の形に表すことを展開という。

\[ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 \]

公式一覧¶

展開でよく使う４つの公式を覚えよう。

展開公式

\[ \text{公式①} \quad (x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab \]

\[ \text{公式②} \quad (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 \]

\[ \text{公式③} \quad (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \]

\[ \text{公式④} \quad (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \]

公式①：\((x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab\)¶

なぜこうなるの？（導出）¶

分配法則を２回使う。

\[ (x + a)(x + b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b \]

\[ = x^2 + bx + ax + ab \]

\[ = x^2 + (a + b)x + ab \]

ポイント

\(x\) の係数 → \(a + b\)（２数の和）
定数項 → \(ab\)（２数の積）

例題１¶

次の式を展開せよ。

\[ (x + 3)(x + 5) \]

解答

\(a = 3,\ b = 5\) として公式①を使う。

\[ = x^2 + (3 + 5)x + 3 \times 5 \]

\[ = x^2 + 8x + 15 \]

例題２¶

次の式を展開せよ。

\[ (x - 2)(x + 7) \]

解答

\(a = -2,\ b = 7\) として公式①を使う。

\[ = x^2 + (-2 + 7)x + (-2) \times 7 \]

\[ = x^2 + 5x - 14 \]

例題３¶

次の式を展開せよ。

\[ (x - 4)(x - 3) \]

解答

\(a = -4,\ b = -3\) として公式①を使う。

\[ = x^2 + (-4 + (-3))x + (-4) \times (-3) \]

\[ = x^2 - 7x + 12 \]

公式②：\((x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\)¶

なぜこうなるの？（導出）¶

公式①で \(b = a\) とおくと、

\[ (x + a)^2 = (x + a)(x + a) = x^2 + (a + a)x + a \cdot a = x^2 + 2ax + a^2 \]

ポイント

「２乗＝前２乗・２倍の積・後２乗」 と覚えよう。

\[ (x + a)^2 = \underbrace{x^2}_{\text{前}^2} + \underbrace{2ax}_{\text{２倍の積}} + \underbrace{a^2}_{\text{後}^2} \]

例題４¶

次の式を展開せよ。

\[ (x + 4)^2 \]

解答

\(a = 4\) として公式②を使う。

\[ = x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2 \]

\[ = x^2 + 8x + 16 \]

例題５¶

次の式を展開せよ。

\[ (2x + 3)^2 \]

解答

\(x\) の部分を \(2x\)、\(a = 3\) として公式②を使う。

\[ = (2x)^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2x + 3^2 \]

\[ = 4x^2 + 12x + 9 \]

公式③：\((x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2\)¶

なぜこうなるの？（導出）¶

公式②の \(a\) を \(-a\) に置き換えると、

\[ (x + (-a))^2 = x^2 + 2(-a)x + (-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \]

符号に注意！

公式②との違いは中間の項の符号だけ。

\[ (x + a)^2 = x^2 \mathbf{+} 2ax + a^2 \]

\[ (x - a)^2 = x^2 \mathbf{-} 2ax + a^2 \]

定数項 \(a^2\) は常に正になる。

例題６¶

次の式を展開せよ。

\[ (x - 5)^2 \]

解答

\(a = 5\) として公式③を使う。

\[ = x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2 \]

\[ = x^2 - 10x + 25 \]

例題７¶

次の式を展開せよ。

\[ (3x - 2)^2 \]

解答

\(x\) の部分を \(3x\)、\(a = 2\) として公式③を使う。

\[ = (3x)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + 2^2 \]

\[ = 9x^2 - 12x + 4 \]

公式④：\((x + a)(x - a) = x^2 - a^2\)¶

なぜこうなるの？（導出）¶

公式①で \(b = -a\) とおくと、

\[ (x + a)(x - a) = x^2 + (a + (-a))x + a \cdot (-a) \]

\[ = x^2 + 0 \cdot x - a^2 = x^2 - a^2 \]

ポイント

和と差の積 → ２乗の差になる。\(x\) の項が消えるのが特徴！

\[ (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \]

例題８¶

次の式を展開せよ。

\[ (x + 6)(x - 6) \]

解答

\(a = 6\) として公式④を使う。

\[ = x^2 - 6^2 = x^2 - 36 \]

例題９¶

次の式を展開せよ。

\[ (2x + 5)(2x - 5) \]

解答

\(x\) の部分を \(2x\)、\(a = 5\) として公式④を使う。

\[ = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25 \]

面積で確かめよう¶

\((x+a)(x+b)\) を、たて \(x+a\)・よこ \(x+b\) の長方形の面積とみると、 まん中の項がなぜ \(a+b\) になるのかが目で分かります。

練習問題¶

次の式を展開せよ。

(1) \(\ (x + 2)(x + 9)\)

解答

公式①：\(a = 2,\ b = 9\)

\[ = x^2 + 11x + 18 \]

(2) \(\ (x - 3)(x - 8)\)

解答

公式①：\(a = -3,\ b = -8\)

\[ = x^2 - 11x + 24 \]

(3) \(\ (x + 1)(x - 6)\)

解答

公式①：\(a = 1,\ b = -6\)

\[ = x^2 - 5x - 6 \]

(4) \(\ (x + 7)^2\)

解答

公式②：\(a = 7\)

\[ = x^2 + 14x + 49 \]

(5) \(\ (x - 9)^2\)

解答

公式③：\(a = 9\)

\[ = x^2 - 18x + 81 \]

(6) \(\ (x + 8)(x - 8)\)

解答

公式④：\(a = 8\)

\[ = x^2 - 64 \]

(7) \(\ (3x + 1)^2\)

解答

公式②：\(x \to 3x,\ a = 1\)

\[ = 9x^2 + 6x + 1 \]

(8) \(\ (4x - 3)(4x + 3)\)

解答

公式④：\(x \to 4x,\ a = 3\)

\[ = 16x^2 - 9 \]

(9) \(\ (2x - 7)^2\)

解答

公式③：\(x \to 2x,\ a = 7\)

\[ = 4x^2 - 28x + 49 \]

(10)（発展） \(\ (x + 3)^2 - (x + 3)(x - 3)\)

解答

それぞれ展開してから整理する。

公式②より：

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

公式④より：

\[ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 \]

よって、

\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9 \]

\[ = 6x + 18 \]

まとめ¶

展開公式４つ

公式	形	結果
①	\((x+a)(x+b)\)	\(x^2 + (a+b)x + ab\)
②	\((x+a)^2\)	\(x^2 + 2ax + a^2\)
③	\((x-a)^2\)	\(x^2 - 2ax + a^2\)
④	\((x+a)(x-a)\)	\(x^2 - a^2\)

使い分けのコツ

同じ２項の２乗 → 公式② or ③
符号だけ違う２項の積 → 公式④（\(x\) の項が消える！）
それ以外の２項の積 → 公式①

もっと練習しよう

この分野の問題をもっと解きたいときは、展開練習問題に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。