因数分解 練習問題¶
因数分解の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- まず共通因数がないかを確かめてから、公式を使おう。答えは展開してもとにもどるか確かめるとよい。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
共通因数をくくり出す¶
確認する解説ページ：因数分解
(1) \(6x^2 - 9x\)
解答
共通因数は \(3x\)。\(3x(2x - 3)\)
(2) \(4ab + 10a\)
解答
共通因数は \(2a\)。\(2a(2b + 5)\)
公式を使う因数分解¶
確認する解説ページ：因数分解
(3) \(x^2 + 11x + 30\)
解答
積が \(30\)、和が \(11\) の2数は \(5\) と \(6\)。\((x + 5)(x + 6)\)
(4) \(x^2 - 2x - 24\)
解答
積が \(-24\)、和が \(-2\) の2数は \(-6\) と \(4\)。\((x - 6)(x + 4)\)
(5) \(a^2 - 11a + 28\)
解答
積が \(28\)、和が \(-11\) の2数は \(-4\) と \(-7\)。\((a - 4)(a - 7)\)
(6) \(x^2 + 3x - 40\)
解答
積が \(-40\)、和が \(3\) の2数は \(8\) と \(-5\)。\((x + 8)(x - 5)\)
(7) \(x^2 - x - 56\)
解答
積が \(-56\)、和が \(-1\) の2数は \(-8\) と \(7\)。\((x - 8)(x + 7)\)
(8) \(x^2 + 16x + 64\)
解答
\(64 = 8^2\)、\(16 = 2 \times 8\)。\((x + 8)^2\)
(9) \(y^2 - 18y + 81\)
解答
\((y - 9)^2\)
(10) \(9x^2 + 30x + 25\)
解答
\(9x^2 = (3x)^2\)、\(25 = 5^2\)、\(30x = 2 \times 3x \times 5\)。\((3x + 5)^2\)
(11) \(4x^2 - 12xy + 9y^2\)
解答
\((2x - 3y)^2\)
(12) \(x^2 - 121\)
解答
\(x^2 - 11^2 = (x + 11)(x - 11)\)
(13) \(25a^2 - 4\)
解答
\((5a)^2 - 2^2 = (5a + 2)(5a - 2)\)
(14) \(\dfrac{1}{4}x^2 - 1\)
解答
\(\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 - 1^2 = \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\)
(15) \(x^2 - 5xy + 6y^2\)
解答
積が \(6y^2\)、和が \(-5y\) になる2つは \(-2y\) と \(-3y\)。\((x - 2y)(x - 3y)\)
標準¶
共通因数をくくってから公式¶
確認する解説ページ：いろいろな因数分解
(16) \(3x^2 - 12x - 36\)
解答
\(3(x^2 - 4x - 12) = 3(x - 6)(x + 2)\)
(17) \(2a^2 - 50\)
解答
\(2(a^2 - 25) = 2(a + 5)(a - 5)\)
(18) \(ax^2 + 6ax + 9a\)
解答
\(a(x^2 + 6x + 9) = a(x + 3)^2\)
(19) \(x^3 - 16x\)
解答
\(x(x^2 - 16) = x(x + 4)(x - 4)\)
置きかえ・4項の式¶
確認する解説ページ：いろいろな因数分解
(20) \((x + 1)^2 + 5(x + 1) + 6\)
解答
\(x + 1 = M\) とおくと \(M^2 + 5M + 6 = (M + 2)(M + 3)\)
\(M\) をもどして \((x + 3)(x + 4)\)
(21) \((a - 2)^2 - 9\)
解答
\(a - 2 = M\) とおくと \(M^2 - 9 = (M + 3)(M - 3)\)
\(M\) をもどして \((a + 1)(a - 5)\)
(22) \((x + y)^2 - 6(x + y) + 9\)
解答
\(x + y = M\) とおくと \(M^2 - 6M + 9 = (M - 3)^2\)。\((x + y - 3)^2\)
(23) \(xy - 3x + 2y - 6\)
解答
\(x(y - 3) + 2(y - 3) = (x + 2)(y - 3)\)
(24) \(ab + a - b - 1\)
解答
\(a(b + 1) - (b + 1) = (a - 1)(b + 1)\)
(25) \(x^2 + 4x + 4 - y^2\)
解答
\((x + 2)^2 - y^2 = (x + 2 + y)(x + 2 - y)\)
計算の工夫¶
確認する解説ページ：いろいろな因数分解
(26) 因数分解を使って、次の計算をせよ。
(a) \(68^2 - 32^2\) (b) \(98^2 + 4 \times 98 + 4\)
解答
(a) \((68 + 32)(68 - 32) = 100 \times 36 = 3600\)
(b) \((98 + 2)^2 = 100^2 = 10000\)
発展¶
(27) \(x = 103\) のとき、\(x^2 - 6x + 9\) の値を求めよ。
解答
\(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 100^2 = 10000\)
(28) \((a + 2b)(a - 2b) - (a + 2b)\) を因数分解せよ。
解答
\(a + 2b\) が共通因数。\((a + 2b)\{(a - 2b) - 1\} = (a + 2b)(a - 2b - 1)\)
(29) \(x^2 + ax + 12\) が、整数を使って \((x + m)(x + n)\) の形に因数分解できるような整数 \(a\) の値をすべて求めよ。
解答
\(mn = 12\)、\(m + n = a\)。
積が \(12\) の整数の組は \((1, 12)\)、\((2, 6)\)、\((3, 4)\) と、それぞれの符号を両方変えたもの。
\(a = 13,\ 8,\ 7,\ -7,\ -8,\ -13\)
(30) 連続する2つの奇数の2乗の差は、\(8\) の倍数になることを説明せよ。
解答
\(n\) を整数として、連続する2つの奇数を \(2n - 1\)、\(2n + 1\) と表す。
\((2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = \{(2n + 1) + (2n - 1)\}\{(2n + 1) - (2n - 1)\} = 4n \times 2 = 8n\)
\(n\) は整数なので、\(8n\) は \(8\) の倍数である。