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因数分解

因数分解とは

多項式を積の形に変形することを因数分解という。展開の逆の操作にあたる。

\[ x^2 + 5x + 6 \quad \xrightarrow{\text{因数分解}} \quad (x + 2)(x + 3) \]
\[ (x + 2)(x + 3) \quad \xrightarrow{\text{展開}} \quad x^2 + 5x + 6 \]

積の形に分解された、ひとつひとつの式を因数という。

因数分解の手順

因数分解のステップ

  1. 共通因数があれば先にくくり出す
  2. 公式が使えるか確認する
  3. それ以上因数分解できないか確認する

STEP 1：共通因数のくくり出し

すべての項に共通してかけられている数や文字（共通因数）があれば、最初にくくり出す。

\[ 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) \]
\[ 4a^2b - 8ab^2 = 4ab(a - 2b) \]

共通因数を見落とさないように！

因数分解の第一歩は必ず共通因数の確認から。くくり出した後にさらに公式が使えることもある。

例題１

次の式を因数分解せよ。

\[ 12x^3 - 8x^2 + 4x \]
解答

各項の共通因数は \(4x\)。

\[ = 4x(3x^2 - 2x + 1) \]

STEP 2：因数分解の公式

展開公式を逆に使う。

因数分解の公式

\[ \text{公式①} \quad x^2 + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b) \]
\[ \text{公式②} \quad x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2 \]
\[ \text{公式③} \quad x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \]
\[ \text{公式④} \quad x^2 - a^2 = (x + a)(x - a) \]

公式①：\(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)\)

定数項を積に、\(x\) の係数を和に分解する２数 \(a, b\) を見つける。

\[ \begin{array}{c} x^2 + 5x + 6 \\ \downarrow \\ \text{積が } 6,\ \text{和が } 5 \text{ になる２数} \Rightarrow 2 \text{ と } 3 \\ \downarrow \\ (x + 2)(x + 3) \end{array} \]

２数の見つけ方

定数項の約数の組み合わせをリストアップして、和が \(x\) の係数になるものを探す。

例）定数項が \(6\) の場合：\((1, 6),\ (2, 3),\ (-1, -6),\ (-2, -3)\)

例題２

次の式を因数分解せよ。

\[ x^2 + 7x + 12 \]
解答

積が \(12\)、和が \(7\) になる２数を探す。

組み合わせ 積 和
\(1, 12\) \(12\) \(13\)
\(2, 6\) \(12\) \(8\)
\(3, 4\) \(12\) \(7\) ✓

よって、

\[ (x + 3)(x + 4) \]

例題３

次の式を因数分解せよ。

\[ x^2 - 3x - 10 \]
解答

積が \(-10\)、和が \(-3\) になる２数を探す。

\(2\) と \(-5\)：積 \(= -10\) ✓、和 \(= -3\) ✓

よって、

\[ (x + 2)(x - 5) \]

公式②③：完全平方式

\[ x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2 \]
\[ x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \]

定数項が完全平方数（\(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\)）のとき、公式②③が使える可能性がある。

\[ x^2 + 6x + 9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{9} = 3,\ 2 \times 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad (x+3)^2 \]

確認の手順

  1. 定数項の平方根 \(a\) を求める
  2. \(2a\) が \(x\) の係数と一致するか確認
  3. 一致すれば公式②または③を使う

例題４

次の式を因数分解せよ。

\[ x^2 - 10x + 25 \]
解答

定数項 \(25 = 5^2\)、\(x\) の係数 \(= -10 = -2 \times 5\)

公式③より、

\[ (x - 5)^2 \]

例題５

次の式を因数分解せよ。

\[ 4x^2 + 12x + 9 \]
解答

\(4x^2 = (2x)^2\)、\(9 = 3^2\)、\(12x = 2 \times 2x \times 3\)

公式②より（\(x \to 2x,\ a = 3\)）、

\[ (2x + 3)^2 \]

公式④：\(x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)\)

２つの平方の差の形を見つけたら公式④を使う。

\[ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4) \]

見落としに注意

\(x\) の項がなく、定数項が負（マイナス）のときは公式④を疑おう。

\[ x^2 - 49 \quad \to \quad (x+7)(x-7) \]

例題６

次の式を因数分解せよ。

\[ x^2 - 36 \]
解答

\(36 = 6^2\) なので公式④より、

\[ (x + 6)(x - 6) \]

例題７

次の式を因数分解せよ。

\[ 9x^2 - 25 \]
解答

\(9x^2 = (3x)^2\)、\(25 = 5^2\) なので公式④より（\(x \to 3x,\ a = 5\)）、

\[ (3x + 5)(3x - 5) \]

共通因数 ＋ 公式の組み合わせ

共通因数をくくり出した後、さらに公式が使える場合がある。

例題８

次の式を因数分解せよ。

\[ 2x^2 - 8 \]
解答

まず共通因数 \(2\) をくくり出す。

\[ = 2(x^2 - 4) \]

\(x^2 - 4 = x^2 - 2^2\) に公式④を使う。

\[ = 2(x + 2)(x - 2) \]

例題９

次の式を因数分解せよ。

\[ 3x^2 + 6x - 24 \]
解答

まず共通因数 \(3\) をくくり出す。

\[ = 3(x^2 + 2x - 8) \]

積が \(-8\)、和が \(2\) になる２数：\(4\) と \(-2\)

公式①を使う。

\[ = 3(x + 4)(x - 2) \]

練習問題

次の式を因数分解せよ。

(1) \(\ x^2 + 9x + 20\)

解答

積が \(20\)、和が \(9\)：\(4\) と \(5\)

\[ (x + 4)(x + 5) \]

(2) \(\ x^2 - 7x + 10\)

解答

積が \(10\)、和が \(-7\)：\(-2\) と \(-5\)

\[ (x - 2)(x - 5) \]

(3) \(\ x^2 + x - 6\)

解答

積が \(-6\)、和が \(1\)：\(3\) と \(-2\)

\[ (x + 3)(x - 2) \]

(4) \(\ x^2 - 8x + 16\)

解答

\(16 = 4^2\)、\(8 = 2 \times 4\)　→　公式③

\[ (x - 4)^2 \]

(5) \(\ x^2 + 14x + 49\)

解答

\(49 = 7^2\)、\(14 = 2 \times 7\)　→　公式②

\[ (x + 7)^2 \]

(6) \(\ x^2 - 81\)

解答

\(81 = 9^2\)　→　公式④

\[ (x + 9)(x - 9) \]

(7) \(\ 25x^2 - 4\)

解答

\((5x)^2 - 2^2\)　→　公式④

\[ (5x + 2)(5x - 2) \]

(8) \(\ 5x^2 - 20\)

解答

共通因数 \(5\) をくくり出す。

\[ = 5(x^2 - 4) = 5(x + 2)(x - 2) \]

(9) \(\ 2x^2 - 12x + 18\)

解答

共通因数 \(2\) をくくり出す。

\[ = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x - 3)^2 \]

(10)（発展） \(\ x^2(x - 3) - 4(x - 3)\)

解答

共通因数 \((x - 3)\) をくくり出す。

\[ = (x - 3)(x^2 - 4) \]

さらに \(x^2 - 4 = x^2 - 2^2\) に公式④を使う。

\[ = (x - 3)(x + 2)(x - 2) \]

まとめ

因数分解の公式４つ

公式 因数分解
① \(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)\)
② \(x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\)
③ \(x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2\)
④ \(x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)\)

解き方の流れ

``` 因数分解したい式 ↓ ① 共通因数はある？　→　あればくくり出す ↓ ② 定数項がない（x²−a²の形）？　→　公式④ ↓ ③ 定数項が完全平方数？　→　公式② or ③ ↓ ④ それ以外　→　公式①（和・積で２数を探す）

```