面積の比と体積の比¶

相似な図形の面積比¶

相似比が \(m : n\) の2つの相似な図形では

\[ \text{面積比} = m^2 : n^2 \]

なぜ面積比が2乗になるのか

相似比 \(m:n\) のとき、すべての長さが \(m:n\) の比で変わる。面積は「縦 × 横」（または底辺 × 高さ / 2）なので、2つの長さをかけた値になる。よって面積比は \((m \times m) : (n \times n) = m^2 : n^2\) となる。

相似な立体の体積比¶

相似比が \(m : n\) の2つの相似な立体では

\[ \text{体積比} = m^3 : n^3 \]

例題１　面積比から辺の長さを求める¶

\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) で面積比が \(4 : 9\) のとき、\(BC=6\) とすると \(EF\) を求めよ。

解答

面積比 \(4 : 9 = 2^2 : 3^2\) より、相似比は \(2 : 3\)。

\(\dfrac{BC}{EF} = \dfrac{2}{3}\) なので

\[ \frac{6}{EF} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad EF = \frac{6 \times 3}{2} = 9 \]

例題２　体積比の問題¶

相似な2つの円柱 P・Q の高さの比が \(3 : 5\) のとき、体積比を求めよ。

解答

相似比（高さの比）は \(3 : 5\) なので

\[ \text{体積比} = 3^3 : 5^3 = 27 : 125 \]

例題３　もとの面積・体積を求める¶

2つの相似な四角形 A・B で相似比が \(2 : 3\)、四角形 A の面積が \(20\ \text{cm}^2\) のとき、四角形 B の面積を求めよ。

解答

面積比は \(2^2 : 3^2 = 4 : 9\)。

四角形 A の面積が \(20\ \text{cm}^2\) なので

\[ \frac{S_B}{20} = \frac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad S_B = \frac{20 \times 9}{4} = 45\ \text{cm}^2 \]

練習問題¶

(1) 相似比が \(3 : 5\) の2つの三角形の面積比を求めよ。また、小さい方の面積が \(27\ \text{cm}^2\) のとき、大きい方の面積を求めよ。

解答

面積比 \(= 3^2 : 5^2 = 9 : 25\)

\[ \frac{S_{\text{大}}}{27} = \frac{25}{9} \quad \Rightarrow \quad S_{\text{大}} = \frac{27 \times 25}{9} = 75\ \text{cm}^2 \]

(2) 相似な2つの球 P・Q で、P の半径が \(2\ \text{cm}\)、Q の半径が \(6\ \text{cm}\) のとき、体積比を求めよ。

解答

相似比（半径の比）は \(2 : 6 = 1 : 3\) なので

\[ \text{体積比} = 1^3 : 3^3 = 1 : 27 \]

(3) 相似比 \(2 : 5\) の2つの立体で、大きい方の体積が \(250\ \text{cm}^3\) のとき、小さい方の体積を求めよ。

解答

体積比 \(= 2^3 : 5^3 = 8 : 125\)

小さい方の体積を \(V\) とすると

\[ \frac{V}{250} = \frac{8}{125} \quad \Rightarrow \quad V = \frac{250 \times 8}{125} = 16\ \text{cm}^3 \]

まとめ¶

相似な図形の比のまとめ

相似比	面積比	体積比
\(m : n\)	\(m^2 : n^2\)	\(m^3 : n^3\)

よく使う手順

面積比・体積比から相似比を逆算する場合は平方根・立方根を使う
面積比 \(a : b\) → 相似比 \(\sqrt{a} : \sqrt{b}\)
体積比 \(a : b\) → 相似比 \(\sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}\)