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平行線と線分の比

定理：△ABC で DE∥BC ならば比が等しい

\(\triangle ABC\) の辺 AB 上に D、辺 AC 上に E をとり \(DE \parallel BC\) とすると

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

が成り立つ。

証明の概要（AA 相似を利用）

\(DE \parallel BC\) より \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)（AA 相似）。

対応する辺の比が等しいので

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

逆定理

\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) ならば \(DE \parallel BC\)。

3本の平行線が2本の直線を切るときの比

3本の平行線 \(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) が2本の直線を切るとき、切り取る線分の比は等しい。

\[ AB : BC = DE : EF \]

例題１　比を使って辺の長さを求める

右の図で \(DE \parallel BC\)、\(AD=3\)、\(DB=2\)、\(DE=6\) のとき、\(BC\) を求めよ。

解答

\(AB = AD + DB = 3 + 2 = 5\)

\(DE \parallel BC\) より \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) なので

\[ \frac{3}{5} = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \]

例題２　3本の平行線パターン

3本の平行線 \(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) が直線を切るとき、\(AB=4\)、\(BC=6\)、\(DE=5\) ならば \(EF\) を求めよ。

解答

3本の平行線定理より

\[ AB : BC = DE : EF \]
\[ 4 : 6 = 5 : EF \quad \Rightarrow \quad EF = \frac{5 \times 6}{4} = 7.5 \]

練習問題

(1) \(DE \parallel BC\)、\(AD=4\)、\(AB=10\)、\(BC=15\) のとき、\(DE\) を求めよ。

解答

\(DE \parallel BC\) より \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) なので

\[ \frac{4}{10} = \frac{DE}{15} \quad \Rightarrow \quad DE = \frac{4 \times 15}{10} = 6 \]

(2) \(DE \parallel BC\)、\(AE=3\)、\(EC=5\)、\(BC=16\) のとき、\(DE\) を求めよ。

解答

\(AC = AE + EC = 3 + 5 = 8\)

\(DE \parallel BC\) より \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\) なので

\[ \frac{3}{8} = \frac{DE}{16} \quad \Rightarrow \quad DE = \frac{3 \times 16}{8} = 6 \]

(3) 3本の平行線 \(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) で \(AB=5\)、\(DE=4\)、\(EF=6\) のとき、\(BC\) を求めよ。

解答

3本の平行線定理より

\[ AB : BC = DE : EF \]
\[ 5 : BC = 4 : 6 \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{5 \times 6}{4} = 7.5 \]

まとめ

平行線と線分の比

\(\triangle ABC\) で \(DE \parallel BC\) ならば

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}, \quad \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

3本の平行線の性質

\(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) が2本の直線を切るとき

\[ AB : BC = DE : EF \]