円周角と中心角¶

円周角と中心角とは¶

円の上に点 A、B、P をとるとき、

中心角：円の中心 O を頂点とする角 \(\angle AOB\)
円周角：円の周上の点 P を頂点とし、同じ弧 AB に対する角 \(\angle APB\)

円周角の定理¶

円周角の定理

同じ弧に対する円周角は中心角の半分である。

\[ \angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB \]

同じ弧に対する円周角はすべて等しい¶

等しい円周角

同じ弧に対する円周角は、頂点がどこにあってもすべて等しい。

\[ \angle APB = \angle AQB = \angle ARB \]

半円の弧に対する円周角¶

半円の弧に対する円周角

AB が円の直径のとき、円周上の点 P に対して

\[ \angle APB = 90° \]

円周角の定理の逆¶

円周角の定理の逆

\(\angle APB = \angle AQB\) であれば、4点 A、P、Q、B は1つの円の上にある（同一円周上にある）。

例題¶

例題１　中心角から円周角を求める¶

右の図で、\(\angle AOB = 100°\) のとき、\(\angle APB\) を求めよ。

解答

円周角の定理より、

\[ \angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100° = 50° \]

例題２　円周角から中心角を求める¶

右の図で、\(\angle APB = 40°\) のとき、\(\angle AOB\) を求めよ。

解答

円周角の定理より、中心角は円周角の2倍。

\[ \angle AOB = 2 \times \angle APB = 2 \times 40° = 80° \]

例題３　半円の弧に対する円周角¶

右の図で、AB は直径、\(\angle BAP = 35°\) のとき、\(\angle APB\) と \(\angle ABP\) を求めよ。

解答

\(\angle APB\) を求める

AB は直径なので、半円の弧に対する円周角より、

\[ \angle APB = 90° \]

\(\angle ABP\) を求める

三角形 ABP の内角の和より、

\[ \angle ABP = 180° - \angle APB - \angle BAP = 180° - 90° - 35° = 55° \]

例題４　同じ弧に対する円周角¶

右の図で、\(\angle APB = 65°\) のとき、\(\angle AQB\) を求めよ。

解答

P と Q は同じ弧 AB に対する円周角だから、

\[ \angle AQB = \angle APB = 65° \]

練習問題¶

(1) 右の図で、\(\angle AOB = 130°\) のとき、\(\angle APB\) を求めよ。

解答

\[ \angle APB = \frac{1}{2} \times 130° = 65° \]

(2) 右の図で、\(\angle APB = 28°\) のとき、\(\angle AOB\) を求めよ。

解答

\[ \angle AOB = 2 \times 28° = 56° \]

(3) 右の図で、AB は直径、\(\angle ABP = 52°\) のとき、\(\angle PAB\) を求めよ。

解答

AB は直径なので、

\[ \angle APB = 90° \]

三角形 APB の内角の和より、

\[ \angle PAB = 180° - 90° - 52° = 38° \]

(4) 右の図で、4点 A、B、P、Q は同じ円の上にあり、\(\angle APB = 73°\) のとき、\(\angle AQB\) を求めよ。

解答

P と Q は同じ弧 AB に対する円周角だから、

\[ \angle AQB = \angle APB = 73° \]

まとめ¶

円周角と中心角のポイント

内容	ポイント
円周角の定理	円周角 \(=\) 中心角 \(\div\) 2
等しい円周角	同じ弧に対する円周角はすべて等しい
半円の弧	直径に対する円周角 \(= 90°\)
定理の逆	\(\angle APB = \angle AQB\) \(\Rightarrow\) 4点は同一円周上

円周角と中心角¶