中点連結定理¶

定理¶

\(\triangle ABC\) の辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とすると

\[ MN \parallel BC \quad \text{かつ} \quad MN = \frac{1}{2} BC \]

が成り立つ。

証明の概要（相似を利用）¶

相似を使った証明

AM = MB（M は中点）、AN = NC（N は中点）より

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2} \]

\(\angle A\) は共通なので、SAS 相似より \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\)（相似比 \(1:2\)）。

したがって

\[ \frac{MN}{BC} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad MN = \frac{BC}{2} \]

また、対応する角が等しいから \(\angle AMN = \angle ABC\)、すなわち \(MN \parallel BC\)。

逆定理¶

\(\triangle ABC\) で AB の中点 M を通り BC に平行な直線が AC と交わる点は AC の中点である。

例題１　MN の長さを求める¶

\(\triangle ABC\) で \(BC=10\)、M・N がそれぞれ AB・AC の中点のとき、\(MN\) を求めよ。

解答

中点連結定理より

\[ MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \]

例題２　台形への応用¶

右の図の台形 ABCD で \(AD \parallel BC\)、M・N はそれぞれ AB・DC の中点とする。\(AD=6\)、\(BC=10\) のとき \(MN\) を求めよ。

解答

対角線 BD を引き、その AC との交点を E とすると、

\(\triangle ABD\) で M・E は AB・BD の中点 → 中点連結定理より \(ME \parallel AD\) かつ \(ME = \dfrac{AD}{2} = 3\)

\(\triangle BDC\) で E・N は BD・DC の中点 → 中点連結定理より \(EN \parallel BC\) かつ \(EN = \dfrac{BC}{2} = 5\)

よって

\[ MN = ME + EN = 3 + 5 = 8 \]

また、\(MN \parallel AD \parallel BC\) も成り立つ。

練習問題¶

(1) \(\triangle PQR\) で \(QR=14\)、M・N がそれぞれ PQ・PR の中点のとき \(MN\) を求めよ。

解答

中点連結定理より

\[ MN = \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \]

(2) \(\triangle ABC\) で M・N が AB・AC の中点、\(MN=9\) のとき \(BC\) を求めよ。

解答

中点連結定理より \(MN = \dfrac{BC}{2}\) なので

\[ 9 = \frac{BC}{2} \quad \Rightarrow \quad BC = 18 \]

(3) 台形 ABCD で \(AD \parallel BC\)、M・N はそれぞれ AB・DC の中点。\(MN=11\)、\(AD=8\) のとき \(BC\) を求めよ。

解答

台形の中点連結定理より

\[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]

\[ 11 = \frac{8 + BC}{2} \quad \Rightarrow \quad 22 = 8 + BC \quad \Rightarrow \quad BC = 14 \]

まとめ¶

中点連結定理

\(\triangle ABC\) の辺 AB・AC の中点 M・N について

\[ MN \parallel BC \quad \text{かつ} \quad MN = \frac{BC}{2} \]

台形への応用

台形 \(AD \parallel BC\)（M・N はそれぞれ AB・DC の中点）のとき

\[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]