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三角形の相似条件

相似とは

２つの三角形が形は同じで大きさだけが異なるとき、この２つの三角形は相似であるという。

相似の記号は「\(\sim\)」を使い、\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) と書く。

相似な図形の性質

  • 対応する角はすべて等しい
  • 対応する辺の比はすべて等しい（これを相似比という）

相似の３条件

条件１　３組の辺の比がすべて等しい（SSS 相似）

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} \]

条件２　２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（SAS 相似）

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}, \quad \angle A = \angle D \]

条件３　２組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）

\[ \angle A = \angle D, \quad \angle B = \angle E \]

（参考）2組の角が等しければ残り1組も自動的に等しい

三角形の内角の和は 180° なので、2 組の角が等しければ 3 組目も等しくなる。

相似比

相似な２つの図形で、対応する辺の比を相似比という。

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \text{ で相似比 } m : n \text{ のとき} \quad \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{m}{n} \]

例題

例題１　相似条件を判断する

\(\triangle ABC\)（\(AB=6,\ BC=9,\ CA=12\)）と \(\triangle DEF\)（\(DE=4,\ EF=6,\ FD=8\)）が相似かどうか調べ、相似ならその条件を答えよ。

解答

それぞれの辺の比を求める。

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad \frac{BC}{EF} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}, \quad \frac{CA}{FD} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

3組の辺の比がすべて等しいので、SSS の相似条件より

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \text{（相似比 } 3 : 2\text{）} \]

例題２　相似を使って辺の長さを求める

\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)、\(AB=4\)、\(AC=6\)、\(DE=6\) のとき、\(DF\) の長さを求めよ。

解答

\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) より、対応する辺の比は等しい。

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \]
\[ \frac{4}{6} = \frac{6}{DF} \quad \Rightarrow \quad DF = \frac{6 \times 6}{4} = 9 \]

例題３　AA 相似の利用（平行線）

右の図で、\(DE \parallel BC\) のとき、\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) であることを証明せよ。

証明

\(\angle A\) は \(\triangle ADE\) と \(\triangle ABC\) に共通。 \(\cdots\) ①

\(DE \parallel BC\) より、同位角が等しいので

\[ \angle ADE = \angle ABC \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しいから

\[ \triangle ADE \sim \triangle ABC \]

例題４　対頂角を利用した相似の証明

右の図で、\(AB \parallel DC\) のとき、\(\triangle OAB \sim \triangle OCD\) であることを証明せよ。

証明

\(AB \parallel DC\) より、錯角が等しいので

\[ \angle OAB = \angle OCD \quad \cdots ① \]

対頂角は等しいので

\[ \angle AOB = \angle COD \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しいから

\[ \triangle OAB \sim \triangle OCD \]

練習問題

(1) \(\triangle ABC\)（\(AB=4,\ BC=6,\ CA=8\)）と \(\triangle DEF\)（\(DE=6,\ EF=9,\ FD=12\)）は相似か調べよ。

解答
\[ \frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\quad \frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},\quad \frac{CA}{FD}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]

3組の辺の比がすべて等しいので、SSS より \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)（相似比 \(2:3\)）

(2) 下の図で \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)、\(AB=6\)、\(BC=9\)、\(DE=4\) のとき、\(EF\) を求めよ。

解答

相似比は \(AB : DE = 6 : 4 = 3 : 2\)。

対応する辺の比より、

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{4} = \frac{9}{EF} \quad \Rightarrow \quad EF = 6 \]

(3) 下の図で \(DE \parallel BC\)、\(AD=2\)、\(DB=3\)、\(DE=4\) のとき、\(BC\) を求めよ。

解答

\(DE \parallel BC\) より（例題３と同様に）\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)。

\(AB = AD + DB = 2 + 3 = 5\) なので、相似比は \(AD : AB = 2 : 5\)。

\[ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{BC} = \frac{2}{5} \quad \Rightarrow \quad BC = 10 \]

(4) 右の図で、\(\angle C = 90°\)、\(CH \perp AB\) のとき、\(\triangle ACH \sim \triangle ABC\) であることを証明せよ。

証明

\(\angle A\) は \(\triangle ACH\) と \(\triangle ABC\) に共通。 \(\cdots\) ①

\(\angle AHC = 90°\)（\(CH \perp AB\) より）、\(\angle ACB = 90°\)（仮定）なので

\[ \angle AHC = \angle ACB \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しいから

\[ \triangle ACH \sim \triangle ABC \]

まとめ

三角形の相似条件

条件 内容
SSS 3組の辺の比がすべて等しい
SAS 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
AA 2組の角がそれぞれ等しい

よく使うポイント

  • \(DE \parallel BC\) → 同位角・錯角 → AA 相似
  • 対頂角 → AA 相似
  • 直角三角形の斜辺への垂線 → AA 相似
  • 相似比 \(m:n\) がわかれば、対応する辺の比から長さを求められる