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三角形の相似の証明の基本

証明の書き方の基本

相似の証明では、次の構造で書く。

証明の構造

  1. 仮定（与えられた条件を整理する）
  2. 結論（示したいことを明確にする）
  3. 証明（根拠を明示しながら筋道を立てる）

証明の最後は必ず「〇〇の相似条件より、\(\triangle \square\square \sim \triangle \triangle\triangle\)」で締める。

よく出るパターン

証明でよく使う等角の根拠をまとめる。

等角の根拠（よく使う3つ）

根拠 内容
共通角 2つの三角形に同じ角が含まれる
平行線の同位角・錯角 \(\ell \parallel m\) のとき同位角・錯角は等しい
対頂角 2直線が交わるとき対頂角は等しい

① 共通角

② 平行線の同位角

③ 対頂角

例題１　共通角＋平行線 → AA 相似

\(\triangle ABC\) で \(DE \parallel BC\)（D は辺 AB 上、E は辺 AC 上）のとき、\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) を証明せよ。

証明

仮定： \(DE \parallel BC\)

結論： \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)

証明：

\(\angle DAE\) は \(\triangle ADE\) と \(\triangle ABC\) に共通。\(\cdots\) ①

\(DE \parallel BC\) より、同位角が等しいので

\[ \angle ADE = \angle ABC \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）から

\[ \triangle ADE \sim \triangle ABC \]

例題２　対頂角＋平行線 → AA 相似

\(AB \parallel DC\) で、直線 AC と BD が点 O で交わるとき、\(\triangle OAB \sim \triangle OCD\) を証明せよ。

証明

仮定： \(AB \parallel DC\)

結論： \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\)

証明：

\(AB \parallel DC\) より、錯角が等しいので

\[ \angle OAB = \angle OCD \quad \cdots ① \]

対頂角は等しいので

\[ \angle AOB = \angle COD \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）から

\[ \triangle OAB \sim \triangle OCD \]

例題３　辺を共有する2つの三角形の相似証明（SAS 利用）

\(AB=6\)、\(AC=4\)、\(AD=9\)、\(AE=6\) のとき、\(\triangle ABC \sim \triangle ADE\) を証明せよ。

証明

仮定： \(AB=6\)、\(AC=4\)、\(AD=9\)、\(AE=6\)

結論： \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)

証明：

辺の比を確認する。

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \quad \frac{AC}{AE} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

よって

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \quad \cdots ① \]

\(\angle BAC\) は \(\triangle ABC\) と \(\triangle ADE\) に共通。\(\cdots\) ②

①②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（SAS 相似）から

\[ \triangle ABC \sim \triangle ADE \]

練習問題

(1) 右の図で \(PQ \parallel BC\)（P は AB 上、Q は AC 上）のとき、\(\triangle APQ \sim \triangle ABC\) であることを証明せよ。

解答

\(\angle PAQ\) は \(\triangle APQ\) と \(\triangle ABC\) に共通。\(\cdots\) ①

\(PQ \parallel BC\) より、同位角が等しいので

\[ \angle APQ = \angle ABC \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）から

\[ \triangle APQ \sim \triangle ABC \]

(2) 右の図で \(MN \parallel AB\)、直線 OA と OB が点 O を共有するとき、\(\triangle OAB \sim \triangle OMN\) を証明せよ（M は OA 上、N は OB 上）。

解答

\(\angle AOB\) は \(\triangle OAB\) と \(\triangle OMN\) に共通。\(\cdots\) ①

\(MN \parallel AB\) より、同位角が等しいので

\[ \angle OMA = \angle OAB \quad \Rightarrow \quad \angle OMN = \angle OAB \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）から

\[ \triangle OAB \sim \triangle OMN \]

(3) \(\triangle ABC\) で \(AB=8\)、\(AC=6\)、\(AD=12\)、\(AE=9\)（D は AB の延長上、E は AC の延長上）のとき、\(\triangle ABC \sim \triangle ADE\) を証明せよ。

解答

辺の比を確認する。

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}, \quad \frac{AC}{AE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

よって \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}\) \(\cdots\) ①

\(\angle BAC\) は \(\triangle ABC\) と \(\triangle ADE\) に共通。\(\cdots\) ②

①②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（SAS 相似）から

\[ \triangle ABC \sim \triangle ADE \]

まとめ

相似の証明でよく使う根拠

根拠 使う場面
共通角 2つの三角形が頂角を共有するとき
平行線の同位角・錯角 \(DE \parallel BC\) などの平行条件があるとき
対頂角 2直線が1点で交わるとき

証明の手順

  1. 等しい角（または辺の比）を2組見つける
  2. それぞれに番号をつけて根拠を明示する
  3. 相似条件（AA または SAS）を述べて結論を書く