関数 \(y = ax^2\) 練習問題¶
関数 \(y = ax^2\) の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- 変域の問題は、グラフをかいて、\(x = 0\) が変域にふくまれるかどうかを必ず確かめよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
関数 \(y = ax^2\) の式と値¶
確認する解説ページ：関数 \(y = ax^2\)
(1) \(y\) は \(x\) の2乗に比例し、\(x = 3\) のとき \(y = 18\) である。\(y\) を \(x\) の式で表し、\(x = -2\) のときの \(y\) の値を求めよ。
解答
\(y = ax^2\) に代入して \(18 = 9a\)、\(a = 2\)。\(y = 2x^2\)
\(x = -2\) のとき \(y = 2 \times 4 = 8\)
(2) \(y = -3x^2\) で、\(x = -2\) のときと \(x = \dfrac{1}{3}\) のときの \(y\) の値を求めよ。
解答
\(x = -2\)：\(y = -3 \times 4 = -12\)
\(x = \dfrac{1}{3}\)：\(y = -3 \times \dfrac{1}{9} = -\dfrac{1}{3}\)
(3) \(y = \dfrac{1}{4}x^2\) について、\(x = 6\) のときの \(y\) の値と、\(y = 4\) となる \(x\) の値を求めよ。
解答
\(x = 6\)：\(y = \dfrac{36}{4} = 9\)
\(y = 4\)：\(x^2 = 16\) より \(x = \pm 4\)
(4) \(y = ax^2\) のグラフが点 \((-3,\ 18)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。
解答
\(18 = 9a\) より \(a = 2\)
(5) \(y = ax^2\) のグラフが点 \((4,\ -8)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。
解答
\(-8 = 16a\) より \(a = -\dfrac{1}{2}\)
グラフの特徴¶
確認する解説ページ：関数 \(y = ax^2\)
(6) \(y = -2x^2\) のグラフについて、正しいものをすべて選べ。
(ア) 上に開いた放物線である。 (イ) \(y\) 軸について対称である。
(ウ) 原点を通る。 (エ) \(x > 0\) の範囲では、\(x\) が増えると \(y\) は減る。
解答
(イ)、(ウ)、(エ)
\(a < 0\) なので下に開いた放物線。(ア) はまちがい。
(7) 次の関数のグラフのうち、開き方がもっとも小さい（細い）ものを選べ。また、\(y = \dfrac{1}{2}x^2\) のグラフと \(x\) 軸について対称なグラフの式を答えよ。
解答
\(|a|\) がもっとも大きい \(y = -4x^2\) がもっとも細い。
\(x\) 軸について対称なのは \(y = -\dfrac{1}{2}x^2\)
変化の割合¶
確認する解説ページ：関数 \(y = ax^2\)
(8) \(y = 2x^2\) で、\(x\) が \(2\) から \(4\) まで増加するときの変化の割合を求めよ。
解答
\(x = 2\) のとき \(y = 8\)、\(x = 4\) のとき \(y = 32\)。\(\dfrac{32 - 8}{4 - 2} = 12\)
(9) \(y = -x^2\) で、\(x\) が \(-4\) から \(-1\) まで増加するときの変化の割合を求めよ。
解答
\(x = -4\) のとき \(y = -16\)、\(x = -1\) のとき \(y = -1\)。\(\dfrac{-1 - (-16)}{-1 - (-4)} = \dfrac{15}{3} = 5\)
変域¶
確認する解説ページ：関数 \(y = ax^2\)
(10) \(y = x^2\) で、\(x\) の変域が \(1 \leqq x \leqq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = 1\) で \(y = 1\)、\(x = 3\) で \(y = 9\)。\(1 \leqq y \leqq 9\)
(11) \(y = x^2\) で、\(x\) の変域が \(-2 \leqq x \leqq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = 0\) が変域にふくまれるので最小値は \(0\)。最大値は \(x = 3\) のときの \(9\)
\(0 \leqq y \leqq 9\)
(12) \(y = -2x^2\) で、\(x\) の変域が \(-3 \leqq x \leqq 1\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = 0\) が変域にふくまれるので最大値は \(0\)。最小値は \(x = -3\) のときの \(-18\)
\(-18 \leqq y \leqq 0\)
標準¶
比例定数を求める¶
確認する解説ページ：二次関数のグラフ問題
(13) \(y = ax^2\) で、\(x\) の変域が \(-2 \leqq x \leqq 4\) のとき、\(y\) の変域は \(0 \leqq y \leqq 8\) である。\(a\) の値を求めよ。
解答
\(y \geqq 0\) なので \(a > 0\)。最大値は \(x = 4\) のとき。\(16a = 8\) より \(a = \dfrac{1}{2}\)
(14) \(y = ax^2\) で、\(x\) が \(2\) から \(5\) まで増加するときの変化の割合が \(-14\) である。\(a\) の値を求めよ。
解答
\(\dfrac{25a - 4a}{5 - 2} = 7a = -14\) より \(a = -2\)
(15) 関数 \(y = ax^2\) と一次関数 \(y = 3x + 2\) で、\(x\) が \(1\) から \(3\) まで増加するときの変化の割合が等しい。\(a\) の値を求めよ。
解答
\(y = ax^2\) の変化の割合は \(\dfrac{9a - a}{2} = 4a\)。一次関数の変化の割合は \(3\)
\(4a = 3\) より \(a = \dfrac{3}{4}\)
(16) \(y = x^2\) で、\(x\) の変域が \(a \leqq x \leqq 2\) のとき、\(y\) の変域は \(0 \leqq y \leqq 9\) である。\(a\) の値を求めよ。
解答
\(x = 2\) のとき \(y = 4\) なので、\(y = 9\) になるのは \(x = a\) のとき。\(a^2 = 9\)、\(a < 2\) なので \(a = -3\)
（\(a = -3\) のとき \(x = 0\) が変域にふくまれ、最小値は \(0\) になる）
グラフの交点と図形¶
確認する解説ページ：二次関数のグラフ問題
(17) \(y = x^2\) のグラフと直線 \(y = x + 6\) の交点の座標を求めよ。
解答
\(x^2 = x + 6\)、\(x^2 - x - 6 = 0\)、\((x - 3)(x + 2) = 0\)
交点は \((3,\ 9)\) と \((-2,\ 4)\)
(18) \(y = \dfrac{1}{2}x^2\) のグラフと直線 \(y = -x + 4\) の交点の座標を求めよ。
解答
\(\dfrac{1}{2}x^2 = -x + 4\)、\(x^2 + 2x - 8 = 0\)、\((x + 4)(x - 2) = 0\)
交点は \((2,\ 2)\) と \((-4,\ 8)\)
(19) \(y = x^2\) のグラフ上に、\(x\) 座標が \(-1\) の点 A と、\(x\) 座標が \(3\) の点 B がある。
(a) 直線 AB の式を求めよ。
(b) 原点を O とするとき、\(\triangle\)AOB の面積を求めよ（1目もり 1 cm）。
解答
(a) A\((-1,\ 1)\)、B\((3,\ 9)\)。傾き \(= \dfrac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2\)、\(1 = -2 + b\) より \(b = 3\)。\(y = 2x + 3\)
(b) 直線 AB と \(y\) 軸の交点を C\((0,\ 3)\) とすると、\(\triangle\)AOB \(= \triangle\)AOC \(+ \triangle\)BOC
\(= \dfrac{1}{2} \times 3 \times 1 + \dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 = 6\)（cm²）
(20) \(y = ax^2\) のグラフが、\(y = -2x^2\) のグラフと \(x\) 軸について対称であるとき、\(a\) の値を求めよ。
解答
\(a = 2\)
身のまわりの \(y = ax^2\)¶
確認する解説ページ：関数 \(y = ax^2\)
(21) 物を静かに落とすとき、落ち始めてから \(x\) 秒間に落ちる距離を \(y\) m とすると、\(y = 5x^2\) の関係がある。
(a) \(3\) 秒間に落ちる距離を求めよ。
(b) \(80\) m 落ちるのにかかる時間を求めよ。
(c) 落ち始めて \(2\) 秒後から \(4\) 秒後までの平均の速さを求めよ。
解答
(a) \(5 \times 9 = 45\)（m）
(b) \(5x^2 = 80\)、\(x^2 = 16\)。\(x > 0\) なので \(4\) 秒
(c) 平均の速さは変化の割合。\(\dfrac{80 - 20}{4 - 2} = 30\)（m/秒）
(22) 自動車の制動距離（ブレーキがききはじめてから止まるまでの距離）\(y\) m は、速さ \(x\) km/h の2乗に比例し、\(y = 0.01x^2\) で表されるとする。
(a) 時速 \(60\) km のときの制動距離を求めよ。
(b) 速さが2倍になると、制動距離は何倍になるか。
解答
(a) \(0.01 \times 3600 = 36\)（m）
(b) \(y = ax^2\) で \(x\) が2倍になると、\(y\) は \(2^2 = 4\) 倍
(23) \(y = \dfrac{1}{3}x^2\) のグラフ上の点で、\(x\) 座標・\(y\) 座標がともに整数で、\(0 < y \leqq 12\) である点は何個あるか。
解答
\(y\) が整数になるのは \(x\) が \(3\) の倍数のとき。
\(x = \pm 3\) のとき \(y = 3\)、\(x = \pm 6\) のとき \(y = 12\)。\(x = \pm 9\) では \(y = 27\) で大きすぎる。
\(4\) 個
(24) \(y = 2x^2\) と \(y = 2x\) で、\(x\) が \(0\) から \(2\) まで増加するときの \(y\) の増加量をそれぞれ求めよ。また、\(x\) が \(2\) から \(4\) まで増加するときはどうか。
解答
\(0 \to 2\)：\(y = 2x^2\) は \(8\)、\(y = 2x\) は \(4\)
\(2 \to 4\)：\(y = 2x^2\) は \(32 - 8 = 24\)、\(y = 2x\) は \(4\)
一次関数は増加量がいつも同じだが、\(y = ax^2\) は区間によって変化の割合が変わる。
発展¶
(25) \(y = x^2\) のグラフ上に、\(x\) 座標が \(-2\) の点 A と、\(x\) 座標が \(4\) の点 B がある。原点を O とする。
(a) \(\triangle\)OAB の面積を求めよ（1目もり 1 cm）。
(b) 原点を通り、\(\triangle\)OAB の面積を2等分する直線の式を求めよ。
解答
(a) A\((-2,\ 4)\)、B\((4,\ 16)\)。直線 AB は傾き \(2\)、\(y = 2x + 8\)。\(y\) 軸との交点は \((0,\ 8)\)
面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 8 \times (2 + 4) = 24\)（cm²）
(b) AB の中点 M\((1,\ 10)\) を通ればよい（\(\triangle\)OAM と \(\triangle\)OMB は底辺が等しく高さが共通）。\(y = 10x\)
(26) \(y = ax^2\)（\(a > 0\)）のグラフ上に、\(x\) 座標が \(2\) の点 A と、\(x\) 座標が \(-4\) の点 B がある。直線 AB の傾きが \(-1\) のとき、\(a\) の値を求めよ。
解答
A\((2,\ 4a)\)、B\((-4,\ 16a)\)。傾き \(= \dfrac{4a - 16a}{2 - (-4)} = -2a\)
\(-2a = -1\) より \(a = \dfrac{1}{2}\)
(27) 関数 \(y = ax^2\) と一次関数 \(y = 2x + b\) について、\(x\) の変域がどちらも \(-2 \leqq x \leqq 4\) のとき、\(y\) の変域が一致した。\(a\)、\(b\) の値を求めよ（\(a > 0\)）。
解答
\(y = ax^2\) の \(y\) の変域は、\(x = 0\) をふくむので \(0 \leqq y \leqq 16a\)
\(y = 2x + b\) の \(y\) の変域は \(b - 4 \leqq y \leqq b + 8\)
\(b - 4 = 0\) より \(b = 4\)。\(16a = 12\) より \(a = \dfrac{3}{4}\)
(28) \(y = ax^2\) で、\(x\) が \(p\) から \(q\) まで増加するときの変化の割合は \(a(p + q)\) になることを説明せよ。
解答
\(\dfrac{aq^2 - ap^2}{q - p} = \dfrac{a(q + p)(q - p)}{q - p} = a(p + q)\)
(29) \(y = \dfrac{1}{2}x^2\) のグラフ上に、\(x\) 座標が正の点 P がある。P から \(x\) 軸に垂線 PH を引くと、PH \(=\) OH \(\times 2\) になった（O は原点）。点 P の座標を求めよ。
解答
P\(\left(t,\ \dfrac{1}{2}t^2\right)\)（\(t > 0\)）とすると OH \(= t\)、PH \(= \dfrac{1}{2}t^2\)
\(\dfrac{1}{2}t^2 = 2t\) より \(t^2 - 4t = 0\)、\(t(t - 4) = 0\)。\(t > 0\) なので \(t = 4\)
P\((4,\ 8)\)
(30) 1辺 \(10\) cm の正方形 ABCD で、点 P は A から B へ、点 Q は A から D へ、同時に出発してどちらも毎秒 \(1\) cm で進む。\(x\) 秒後の \(\triangle\)APQ の面積を \(y\) cm² とする。\(y\) を \(x\) の式で表し、\(x\) の変域と \(y\) の変域を求めよ。
解答
AP \(=\) AQ \(= x\) なので \(y = \dfrac{1}{2}x^2\)
P、Q がそれぞれ B、D に着くまでなので \(0 \leqq x \leqq 10\)、\(0 \leqq y \leqq 50\)