関数 \(y = ax^2\)¶

関数 \(y = ax^2\) とは¶

\(x\) の値が決まると \(y\) の値がただ１つ決まるとき、\(y\) は \(x\) の関数であるという。

\(y\) が \(x\) の２乗に比例するとき、

\[ y = ax^2 \quad (a \neq 0) \]

と表せる。\(a\) を比例定数という。

例¶

\(y = 2x^2\)　→　\(a = 2\)
\(y = -3x^2\)　→　\(a = -3\)
\(y = \dfrac{1}{2}x^2\)　→　\(a = \dfrac{1}{2}\)

関数の値¶

\(x\) の値を代入して \(y\) の値を求める。

\[ y = 3x^2 \quad \text{のとき} \quad x = -2 \Rightarrow y = 3 \times (-2)^2 = 3 \times 4 = 12 \]

例題１¶

\(y = -2x^2\) について、次の \(x\) の値に対する \(y\) の値を求めよ。

\[ \text{(1)}\ x = 3 \qquad \text{(2)}\ x = -4 \qquad \text{(3)}\ x = \frac{1}{2} \]

解答

(1)

\[ y = -2 \times 3^2 = -2 \times 9 = -18 \]

(2)

\[ y = -2 \times (-4)^2 = -2 \times 16 = -32 \]

(3)

\[ y = -2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -2 \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} \]

グラフの形（放物線）¶

\(y = ax^2\) のグラフは放物線と呼ばれる、原点を頂点とした左右対称の曲線になる。

\(a > 0\) のとき（上に開く）¶

\[ y = x^2, \quad y = 2x^2, \quad y = \frac{1}{2}x^2 \]

原点を頂点として上に開く形
\(x = 0\) のとき \(y\) は最小値 \(0\)

\(a < 0\) のとき（下に開く）¶

\[ y = -x^2, \quad y = -2x^2, \quad y = -\frac{1}{2}x^2 \]

原点を頂点として下に開く形
\(x = 0\) のとき \(y\) は最大値 \(0\)

\(|a|\) の大きさとグラフの形¶

\(|a|\) が大きいほどグラフは細くなる

\(|a|\) が大きい → グラフが細く（急に）なる
\(|a|\) が小さい → グラフが広く（なだらかに）なる

例）\(y = 3x^2\) のグラフは \(y = x^2\) より細く、\(y = \dfrac{1}{3}x^2\) より細い。

グラフの性質まとめ¶

\(y = ax^2\) のグラフの特徴

	\(a > 0\)	\(a < 0\)
開き方	上に開く	下に開く
頂点	原点 \((0,\ 0)\)	原点 \((0,\ 0)\)
軸	\(y\) 軸（\(x = 0\)）	\(y\) 軸（\(x = 0\)）
対称性	\(y\) 軸対称	\(y\) 軸対称
最小・最大	最小値 \(0\)（\(x=0\)）	最大値 \(0\)（\(x=0\)）

\(x\) の変域と \(y\) の変域¶

\(x\) の範囲（変域）が決まったとき、対応する \(y\) の範囲を求める。

変域を求める手順

変域の両端と \(x = 0\)（頂点）が含まれるか確認する
\(y\) の値を端点・頂点で計算する
\(a > 0\) なら最小は頂点、\(a < 0\) なら最大は頂点

例題２¶

\(y = 2x^2\) について、\(x\) の変域が \(-1 \leq x \leq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

各端点と頂点での \(y\) の値を計算する。

\(x = -1\)：\(y = 2 \times 1 = 2\)
\(x = 0\)：\(y = 0\)（頂点、最小値）
\(x = 3\)：\(y = 2 \times 9 = 18\)

\(a = 2 > 0\) なので上に開き、変域に \(x = 0\) が含まれるから最小値は \(0\)。

\[ 0 \leq y \leq 18 \]

例題３¶

\(y = -x^2\) について、\(x\) の変域が \(-2 \leq x \leq 4\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

\(x = -2\)：\(y = -4\)
\(x = 0\)：\(y = 0\)（頂点、最大値）
\(x = 4\)：\(y = -16\)

\(a = -1 < 0\) なので下に開き、変域に \(x = 0\) が含まれるから最大値は \(0\)。

\[ -16 \leq y \leq 0 \]

例題４（頂点が変域に含まれない場合）¶

\(y = x^2\) について、\(x\) の変域が \(1 \leq x \leq 4\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

変域 \(1 \leq x \leq 4\) に \(x = 0\) は含まれない。

\(x = 1\)：\(y = 1\)
\(x = 4\)：\(y = 16\)

\(a > 0\) で変域が正の部分のみなので、\(x\) が大きいほど \(y\) も大きい。

\[ 1 \leq y \leq 16 \]

変化の割合¶

\(x\) が \(p\) から \(q\) まで変化するときの変化の割合は、

\[ \text{変化の割合} = \frac{y \text{ の増加量}}{x \text{ の増加量}} = \frac{f(q) - f(p)}{q - p} \]

一次関数との違い

一次関数 \(y = ax + b\) の変化の割合は常に一定（\(= a\)）だが、 \(y = ax^2\) の変化の割合は区間によって変わる。

例題５¶

\(y = 3x^2\) について、\(x\) が \(1\) から \(4\) まで変化するときの変化の割合を求めよ。

解答

\(x = 1\) のとき \(y = 3\)
\(x = 4\) のとき \(y = 48\)

\[ \text{変化の割合} = \frac{48 - 3}{4 - 1} = \frac{45}{3} = 15 \]

例題６¶

\(y = -2x^2\) について、\(x\) が \(-3\) から \(-1\) まで変化するときの変化の割合を求めよ。

解答

\(x = -3\) のとき \(y = -2 \times 9 = -18\)
\(x = -1\) のとき \(y = -2 \times 1 = -2\)

\[ \text{変化の割合} = \frac{-2 - (-18)}{-1 - (-3)} = \frac{16}{2} = 8 \]

比例定数 \(a\) の求め方¶

グラフが通る点の座標がわかれば \(a\) を求めることができる。

\[ y = ax^2 \text{ に } (x,\ y) \text{ を代入} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{y}{x^2} \]

例題７¶

\(y = ax^2\) のグラフが点 \((3,\ -18)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。

解答

\(x = 3,\ y = -18\) を代入する。

\[ -18 = a \times 3^2 = 9a \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

練習問題¶

(1) \(y = 4x^2\) について、\(x = -3\) のときの \(y\) の値を求めよ。

解答

\[ y = 4 \times (-3)^2 = 4 \times 9 = 36 \]

(2) \(y = -\dfrac{1}{2}x^2\) について、\(x = 6\) のときの \(y\) の値を求めよ。

解答

\[ y = -\frac{1}{2} \times 36 = -18 \]

(3) \(y = ax^2\) のグラフが点 \((-2,\ 12)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。

解答

\[ 12 = a \times 4 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \]

(4) \(y = 3x^2\) について、\(x\) の変域が \(-2 \leq x \leq 1\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

\(x = -2\)：\(y = 12\)
\(x = 0\)：\(y = 0\)（最小値）
\(x = 1\)：\(y = 3\)

\[ 0 \leq y \leq 12 \]

(5) \(y = -2x^2\) について、\(x\) の変域が \(1 \leq x \leq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

解答

変域に \(x = 0\) は含まれない。\(a < 0\) なので \(|x|\) が大きいほど \(y\) は小さい。

\(x = 1\)：\(y = -2\)（最大値）
\(x = 3\)：\(y = -18\)（最小値）

\[ -18 \leq y \leq -2 \]

(6) \(y = 2x^2\) について、\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの変化の割合を求めよ。

解答

\(x = 2\)：\(y = 8\)
\(x = 5\)：\(y = 50\)

\[ \text{変化の割合} = \frac{50 - 8}{5 - 2} = \frac{42}{3} = 14 \]

(7)（発展） \(y = ax^2\) について、\(x\) が \(1\) から \(3\) まで変化するときの変化の割合が \(8\) である。\(a\) の値を求めよ。

解答

\(x = 1\) のとき \(y = a\)
\(x = 3\) のとき \(y = 9a\)

\[ \frac{9a - a}{3 - 1} = \frac{8a}{2} = 4a = 8 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \]

(8)（発展） \(y = x^2\) と \(y = -x^2 + 8\) のグラフの交点の座標を求めよ。

解答

\(x^2 = -x^2 + 8\)

\[ 2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

\(x = 2\) のとき \(y = 4\)、\(x = -2\) のとき \(y = 4\)

答え：\((2,\ 4)\) と \((-2,\ 4)\)

まとめ¶

\(y = ax^2\) のポイントまとめ

\(a > 0\)：上に開く放物線、最小値 \(0\)（\(x = 0\)）
\(a < 0\)：下に開く放物線、最大値 \(0\)（\(x = 0\)）
\(|a|\) が大きいほどグラフは細くなる
グラフは \(y\) 軸対称、頂点は原点
変域の問題では頂点（\(x=0\)）が含まれるかを最初に確認する
変化の割合は区間によって変わる（一次関数とは異なる）