二次関数のグラフ問題¶
グラフを読み取り・活用する問題です。
問題１ 比例定数を求める¶
下のグラフは \(y = ax^2\) のグラフである。グラフが点 \((3,\ -18)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。
解答
\(x = 3,\ y = -18\) を \(y = ax^2\) に代入する。
\[ -18 = a \times 3^2 = 9a \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]
問題２ 変域を求める（頂点が範囲内）¶
\(y = 2x^2\) について、\(x\) の変域が \(-1 \leq x \leq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
変域 \(-1 \leq x \leq 3\) に \(x = 0\) が含まれる。\(a = 2 > 0\) なので上に開き、最小値は頂点の \(y = 0\)。
- \(x = -1\)：\(y = 2 \times 1 = 2\)
- \(x = 0\)：\(y = 0\)（最小値）
- \(x = 3\)：\(y = 2 \times 9 = 18\)（最大値）
\[ 0 \leq y \leq 18 \]
問題３ 変域を求める（頂点が範囲外）¶
\(y = -x^2\) について、\(x\) の変域が \(1 \leq x \leq 4\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
変域 \(1 \leq x \leq 4\) に \(x = 0\) は含まれない。\(a = -1 < 0\) で変域が正の部分のみなので、\(x\) が大きいほど \(y\) は小さい。
- \(x = 1\)：\(y = -1\)（最大値）
- \(x = 4\)：\(y = -16\)（最小値）
\[ -16 \leq y \leq -1 \]
問題４ 変化の割合¶
\(y = 2x^2\) について、\(x\) が \(1\) から \(3\) まで変化するときの変化の割合を求めよ。 グラフ上の２点を結ぶ直線（割線）に注目しよう。
解答
- \(x = 1\) のとき \(y = 2 \times 1^2 = 2\)
- \(x = 3\) のとき \(y = 2 \times 3^2 = 18\)
\[ \text{変化の割合} = \frac{18 - 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8 \]
問題５ ２つのグラフの交点¶
\(y = x^2\) と \(y = -x^2 + 8\) のグラフの交点の座標を求めよ。
解答
交点では \(x^2 = -x^2 + 8\) が成り立つ。
\[ 2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]
- \(x = 2\) のとき \(y = 4\)
- \(x = -2\) のとき \(y = 4\)
答え：\((2,\ 4)\) と \((-2,\ 4)\)